Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29617 / 42740
↖ ↑ ↗
← S 47.945787°
W 17.308960°		 ← 409.13 m → S 47.945787°
W 17.303467°		 →
↑
409.08 m
↓
↑
409.08 m
↓
S 47.949466°
W 17.308960°		 ← 409.10 m →
167 360 m²		 S 47.949466°
W 17.303467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451927185058594 y=0.652168273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451927185058594 × 216)
    floor (0.451927185058594 × 65536)
    floor (29617.5)     		tx = 29617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652168273925781 × 216)
    floor (0.652168273925781 × 65536)
    floor (42740.5)     		ty = 42740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29617 / 42740 ti = "16/29617/42740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29617/42740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29617 ÷ 216
    29617 ÷ 65536     		x = 0.451919555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42740 ÷ 216
    42740 ÷ 65536     		y = 0.65216064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451919555664062 × 2 - 1) × π
    -0.096160888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30209834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65216064453125 × 2 - 1) × π
    -0.3043212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.9560535260224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30209834} λ = -0.30209834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9560535260224))-π/2
    2×atan(0.384406948424767)-π/2
    2×0.366992245281865-π/2
    0.73398449056373-1.57079632675     		φ = -0.83681184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30209834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.308960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83681184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.945787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29617 KachelY 42740 -0.30209834 -0.83681184 -17.308960 -47.945787
    Oben rechts KachelX + 1 29618 KachelY 42740 -0.30200247 -0.83681184 -17.303467 -47.945787
    Unten links KachelX 29617 KachelY + 1 42741 -0.30209834 -0.83687605 -17.308960 -47.949466
    Unten rechts KachelX + 1 29618 KachelY + 1 42741 -0.30200247 -0.83687605 -17.303467 -47.949466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83681184--0.83687605) × R
    6.4210000000009e-05 × 6371000     		dl = 409.081910000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83681184--0.83687605) × R
    6.4210000000009e-05 × 6371000     		dr = 409.081910000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30209834--0.30200247) × cos(-0.83681184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669833471064158 × 6371000     		do = 409.126092062628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30209834--0.30200247) × cos(-0.83687605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669785793028873 × 6371000     		du = 409.096970901778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83681184)-sin(-0.83687605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669833471064158-0.669785793028873)×R²
    abs(-0.30200247--0.30209834)×4.76780352858253e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76780352858253e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76780352858253e-05×40589641000000     		ar = 167360.126759001m²