Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29616 / 22704
↖ ↑ ↗
← N 48.283193°
W 17.314453°		 ← 406.49 m → N 48.283193°
W 17.308960°		 →
↑
406.47 m
↓
↑
406.47 m
↓
N 48.279537°
W 17.314453°		 ← 406.52 m →
165 232 m²		 N 48.279537°
W 17.308960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451911926269531 y=0.346443176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451911926269531 × 216)
    floor (0.451911926269531 × 65536)
    floor (29616.5)     		tx = 29616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346443176269531 × 216)
    floor (0.346443176269531 × 65536)
    floor (22704.5)     		ty = 22704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29616 / 22704 ti = "16/29616/22704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29616/22704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29616 ÷ 216
    29616 ÷ 65536     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22704 ÷ 216
    22704 ÷ 65536     		y = 0.346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346435546875 × 2 - 1) × π
    0.30712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.96487391555249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96487391555249))-π/2
    2×atan(2.6244567324357)-π/2
    2×1.20674850808913-π/2
    2.41349701617827-1.57079632675     		φ = 0.84270069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84270069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.283193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29616 KachelY 22704 -0.30219422 0.84270069 -17.314453 48.283193
    Oben rechts KachelX + 1 29617 KachelY 22704 -0.30209834 0.84270069 -17.308960 48.283193
    Unten links KachelX 29616 KachelY + 1 22705 -0.30219422 0.84263689 -17.314453 48.279537
    Unten rechts KachelX + 1 29617 KachelY + 1 22705 -0.30209834 0.84263689 -17.308960 48.279537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84270069-0.84263689) × R
    6.38000000000583e-05 × 6371000     		dl = 406.469800000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84270069-0.84263689) × R
    6.38000000000583e-05 × 6371000     		dr = 406.469800000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30209834) × cos(0.84270069) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665449343914145 × 6371000     		do = 406.490716594953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30209834) × cos(0.84263689) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665496965623965 × 6371000     		du = 406.519806386877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84270069)-sin(0.84263689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665449343914145-0.665496965623965)×R²
    abs(-0.30209834--0.30219422)×4.76217098197562e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76217098197562e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76217098197562e-05×40589641000000     		ar = 165232.112393258m²