Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29615 / 17645
↖ ↑ ↗
← N 63.595005°
W 17.319946°		 ← 271.63 m → N 63.595005°
W 17.314453°		 →
↑
271.66 m
↓
↑
271.66 m
↓
N 63.592562°
W 17.319946°		 ← 271.65 m →
73 793 m²		 N 63.592562°
W 17.314453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451896667480469 y=0.269248962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451896667480469 × 216)
    floor (0.451896667480469 × 65536)
    floor (29615.5)     		tx = 29615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269248962402344 × 216)
    floor (0.269248962402344 × 65536)
    floor (17645.5)     		ty = 17645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29615 / 17645 ti = "16/29615/17645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29615/17645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29615 ÷ 216
    29615 ÷ 65536     		x = 0.451889038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17645 ÷ 216
    17645 ÷ 65536     		y = 0.269241333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451889038085938 × 2 - 1) × π
    -0.096221923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30229009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269241333007812 × 2 - 1) × π
    0.461517333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44989946590822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30229009} λ = -0.30229009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44989946590822))-π/2
    2×atan(4.26268594836602)-π/2
    2×1.34036927494307-π/2
    2.68073854988614-1.57079632675     		φ = 1.10994222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30229009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.319946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10994222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.595005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29615 KachelY 17645 -0.30229009 1.10994222 -17.319946 63.595005
    Oben rechts KachelX + 1 29616 KachelY 17645 -0.30219422 1.10994222 -17.314453 63.595005
    Unten links KachelX 29615 KachelY + 1 17646 -0.30229009 1.10989958 -17.319946 63.592562
    Unten rechts KachelX + 1 29616 KachelY + 1 17646 -0.30219422 1.10989958 -17.314453 63.592562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10994222-1.10989958) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dl = 271.65943999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10994222-1.10989958) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dr = 271.65943999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30229009--0.30219422) × cos(1.10994222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.444713269469479 × 6371000     		do = 271.625426148666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30229009--0.30219422) × cos(1.10989958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.444751460561549 × 6371000     		du = 271.648752800626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10994222)-sin(1.10989958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444713269469479-0.444751460561549)×R²
    abs(-0.30219422--0.30229009)×3.81910920699835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81910920699835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81910920699835e-05×40589641000000     		ar = 73792.7796208698m²