Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29611 / 41287
↖ ↑ ↗
← S 42.322001°
W 17.341919°		 ← 451.60 m → S 42.322001°
W 17.336426°		 →
↑
451.64 m
↓
↑
451.64 m
↓
S 42.326062°
W 17.341919°		 ← 451.57 m →
203 954 m²		 S 42.326062°
W 17.336426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451835632324219 y=0.629997253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451835632324219 × 216)
    floor (0.451835632324219 × 65536)
    floor (29611.5)     		tx = 29611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629997253417969 × 216)
    floor (0.629997253417969 × 65536)
    floor (41287.5)     		ty = 41287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29611 / 41287 ti = "16/29611/41287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29611/41287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29611 ÷ 216
    29611 ÷ 65536     		x = 0.451828002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41287 ÷ 216
    41287 ÷ 65536     		y = 0.629989624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451828002929688 × 2 - 1) × π
    -0.096343994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30267358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629989624023438 × 2 - 1) × π
    -0.259979248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.816748895726517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30267358} λ = -0.30267358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816748895726517))-π/2
    2×atan(0.441865873875232)-π/2
    2×0.416069030961518-π/2
    0.832138061923036-1.57079632675     		φ = -0.73865826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30267358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.341919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73865826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.322001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29611 KachelY 41287 -0.30267358 -0.73865826 -17.341919 -42.322001
    Oben rechts KachelX + 1 29612 KachelY 41287 -0.30257771 -0.73865826 -17.336426 -42.322001
    Unten links KachelX 29611 KachelY + 1 41288 -0.30267358 -0.73872915 -17.341919 -42.326062
    Unten rechts KachelX + 1 29612 KachelY + 1 41288 -0.30257771 -0.73872915 -17.336426 -42.326062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73865826--0.73872915) × R
    7.08899999999346e-05 × 6371000     		dl = 451.640189999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73865826--0.73872915) × R
    7.08899999999346e-05 × 6371000     		dr = 451.640189999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30267358--0.30257771) × cos(-0.73865826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739372612800776 × 6371000     		do = 451.59974937165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30267358--0.30257771) × cos(-0.73872915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739324880956086 × 6371000     		du = 451.570595344673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73865826)-sin(-0.73872915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739372612800776-0.739324880956086)×R²
    abs(-0.30257771--0.30267358)×4.77318446908681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77318446908681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77318446908681e-05×40589641000000     		ar = 203954.013130448m²