Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29611 / 19354
↖ ↑ ↗
← N 59.102667°
W 17.341919°		 ← 313.64 m → N 59.102667°
W 17.336426°		 →
↑
313.64 m
↓
↑
313.64 m
↓
N 59.099847°
W 17.341919°		 ← 313.67 m →
98 376 m²		 N 59.099847°
W 17.336426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451835632324219 y=0.295326232910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451835632324219 × 216)
    floor (0.451835632324219 × 65536)
    floor (29611.5)     		tx = 29611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295326232910156 × 216)
    floor (0.295326232910156 × 65536)
    floor (19354.5)     		ty = 19354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29611 / 19354 ti = "16/29611/19354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29611/19354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29611 ÷ 216
    29611 ÷ 65536     		x = 0.451828002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19354 ÷ 216
    19354 ÷ 65536     		y = 0.295318603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451828002929688 × 2 - 1) × π
    -0.096343994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30267358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295318603515625 × 2 - 1) × π
    0.40936279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28605114300687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30267358} λ = -0.30267358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28605114300687))-π/2
    2×atan(3.61846948778893)-π/2
    2×1.30116623331504-π/2
    2.60233246663007-1.57079632675     		φ = 1.03153614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30267358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.341919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03153614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.102667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29611 KachelY 19354 -0.30267358 1.03153614 -17.341919 59.102667
    Oben rechts KachelX + 1 29612 KachelY 19354 -0.30257771 1.03153614 -17.336426 59.102667
    Unten links KachelX 29611 KachelY + 1 19355 -0.30267358 1.03148691 -17.341919 59.099847
    Unten rechts KachelX + 1 29612 KachelY + 1 19355 -0.30257771 1.03148691 -17.336426 59.099847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03153614-1.03148691) × R
    4.92300000001222e-05 × 6371000     		dl = 313.644330000779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03153614-1.03148691) × R
    4.92300000001222e-05 × 6371000     		dr = 313.644330000779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30267358--0.30257771) × cos(1.03153614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.513501306803023 × 6371000     		do = 313.640318074297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30267358--0.30257771) × cos(1.03148691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.513543549892922 × 6371000     		du = 313.666119636975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03153614)-sin(1.03148691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513501306803023-0.513543549892922)×R²
    abs(-0.30257771--0.30267358)×4.22430898995296e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22430898995296e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22430898995296e-05×40589641000000     		ar = 98375.5537004852m²