Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29610 / 40875
↖ ↑ ↗
← S 40.626461°
W 17.347412°		 ← 463.62 m → S 40.626461°
W 17.341919°		 →
↑
463.55 m
↓
↑
463.55 m
↓
S 40.630630°
W 17.347412°		 ← 463.59 m →
214 905 m²		 S 40.630630°
W 17.341919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451820373535156 y=0.623710632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451820373535156 × 216)
    floor (0.451820373535156 × 65536)
    floor (29610.5)     		tx = 29610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623710632324219 × 216)
    floor (0.623710632324219 × 65536)
    floor (40875.5)     		ty = 40875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29610 / 40875 ti = "16/29610/40875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29610/40875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29610 ÷ 216
    29610 ÷ 65536     		x = 0.451812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40875 ÷ 216
    40875 ÷ 65536     		y = 0.623703002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.09637451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30276946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623703002929688 × 2 - 1) × π
    -0.247406005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.77724889043959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30276946} λ = -0.30276946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.77724889043959))-π/2
    2×atan(0.459668872804138)-π/2
    2×0.430865408908688-π/2
    0.861730817817376-1.57079632675     		φ = -0.70906551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30276946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.347412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70906551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.626461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29610 KachelY 40875 -0.30276946 -0.70906551 -17.347412 -40.626461
    Oben rechts KachelX + 1 29611 KachelY 40875 -0.30267358 -0.70906551 -17.341919 -40.626461
    Unten links KachelX 29610 KachelY + 1 40876 -0.30276946 -0.70913827 -17.347412 -40.630630
    Unten rechts KachelX + 1 29611 KachelY + 1 40876 -0.30267358 -0.70913827 -17.341919 -40.630630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70906551--0.70913827) × R
    7.2760000000005e-05 × 6371000     		dl = 463.553960000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70906551--0.70913827) × R
    7.2760000000005e-05 × 6371000     		dr = 463.553960000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30276946--0.30267358) × cos(-0.70906551) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.758970676914629 × 6371000     		do = 463.618361269867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30276946--0.30267358) × cos(-0.70913827) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.758923299064862 × 6371000     		du = 463.589420440218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70906551)-sin(-0.70913827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758970676914629-0.758923299064862)×R²
    abs(-0.30267358--0.30276946)×4.73778497662725e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73778497662725e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73778497662725e-05×40589641000000     		ar = 214905.419572421m²