Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29609 / 42777
↖ ↑ ↗
← S 48.081749°
W 17.352905°		 ← 408.05 m → S 48.081749°
W 17.347412°		 →
↑
408.06 m
↓
↑
408.06 m
↓
S 48.085419°
W 17.352905°		 ← 408.02 m →
166 503 m²		 S 48.085419°
W 17.347412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451805114746094 y=0.652732849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451805114746094 × 216)
    floor (0.451805114746094 × 65536)
    floor (29609.5)     		tx = 29609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652732849121094 × 216)
    floor (0.652732849121094 × 65536)
    floor (42777.5)     		ty = 42777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29609 / 42777 ti = "16/29609/42777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29609/42777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29609 ÷ 216
    29609 ÷ 65536     		x = 0.451797485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42777 ÷ 216
    42777 ÷ 65536     		y = 0.652725219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451797485351562 × 2 - 1) × π
    -0.096405029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30286533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652725219726562 × 2 - 1) × π
    -0.305450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.959600856594284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30286533} λ = -0.30286533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959600856594284))-π/2
    2×atan(0.383045745650081)-π/2
    2×0.365805749279245-π/2
    0.73161149855849-1.57079632675     		φ = -0.83918483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30286533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.352905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83918483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.081749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29609 KachelY 42777 -0.30286533 -0.83918483 -17.352905 -48.081749
    Oben rechts KachelX + 1 29610 KachelY 42777 -0.30276946 -0.83918483 -17.347412 -48.081749
    Unten links KachelX 29609 KachelY + 1 42778 -0.30286533 -0.83924888 -17.352905 -48.085419
    Unten rechts KachelX + 1 29610 KachelY + 1 42778 -0.30276946 -0.83924888 -17.347412 -48.085419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83918483--0.83924888) × R
    6.40499999999822e-05 × 6371000     		dl = 408.062549999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83918483--0.83924888) × R
    6.40499999999822e-05 × 6371000     		dr = 408.062549999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30286533--0.30276946) × cos(-0.83918483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668069614740966 × 6371000     		do = 408.048750192385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30286533--0.30276946) × cos(-0.83924888) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.66802195384399 × 6371000     		du = 408.019639499404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83918483)-sin(-0.83924888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668069614740966-0.66802195384399)×R²
    abs(-0.30276946--0.30286533)×4.7660896976387e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7660896976387e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7660896976387e-05×40589641000000     		ar = 166503.474092654m²