Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29608 / 42776
↖ ↑ ↗
← S 48.078079°
W 17.358399°		 ← 408.12 m → S 48.078079°
W 17.352905°		 →
↑
408.06 m
↓
↑
408.06 m
↓
S 48.081749°
W 17.358399°		 ← 408.09 m →
166 533 m²		 S 48.081749°
W 17.352905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451789855957031 y=0.652717590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451789855957031 × 216)
    floor (0.451789855957031 × 65536)
    floor (29608.5)     		tx = 29608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652717590332031 × 216)
    floor (0.652717590332031 × 65536)
    floor (42776.5)     		ty = 42776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29608 / 42776 ti = "16/29608/42776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29608/42776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29608 ÷ 216
    29608 ÷ 65536     		x = 0.4517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42776 ÷ 216
    42776 ÷ 65536     		y = 0.6527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30296121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.305419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.959504982795044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30296121} λ = -0.30296121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959504982795044))-π/2
    2×atan(0.383082471461492)-π/2
    2×0.365837775607706-π/2
    0.731675551215412-1.57079632675     		φ = -0.83912078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30296121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.358399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83912078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.078079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29608 KachelY 42776 -0.30296121 -0.83912078 -17.358399 -48.078079
    Oben rechts KachelX + 1 29609 KachelY 42776 -0.30286533 -0.83912078 -17.352905 -48.078079
    Unten links KachelX 29608 KachelY + 1 42777 -0.30296121 -0.83918483 -17.358399 -48.081749
    Unten rechts KachelX + 1 29609 KachelY + 1 42777 -0.30286533 -0.83918483 -17.352905 -48.081749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83912078--0.83918483) × R
    6.40499999999822e-05 × 6371000     		dl = 408.062549999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83912078--0.83918483) × R
    6.40499999999822e-05 × 6371000     		dr = 408.062549999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30296121--0.30286533) × cos(-0.83912078) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668117272897252 × 6371000     		do = 408.120424962819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30296121--0.30286533) × cos(-0.83918483) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668069614740966 × 6371000     		du = 408.091312907518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83912078)-sin(-0.83918483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668117272897252-0.668069614740966)×R²
    abs(-0.30286533--0.30296121)×4.76581562858236e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76581562858236e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76581562858236e-05×40589641000000     		ar = 166532.721604506m²