Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29607 / 42939
↖ ↑ ↗
← S 48.672827°
W 17.363892°		 ← 403.34 m → S 48.672827°
W 17.358399°		 →
↑
403.35 m
↓
↑
403.35 m
↓
S 48.676454°
W 17.363892°		 ← 403.31 m →
162 680 m²		 S 48.676454°
W 17.358399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451774597167969 y=0.655204772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451774597167969 × 216)
    floor (0.451774597167969 × 65536)
    floor (29607.5)     		tx = 29607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655204772949219 × 216)
    floor (0.655204772949219 × 65536)
    floor (42939.5)     		ty = 42939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29607 / 42939 ti = "16/29607/42939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29607/42939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29607 ÷ 216
    29607 ÷ 65536     		x = 0.451766967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42939 ÷ 216
    42939 ÷ 65536     		y = 0.655197143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451766967773438 × 2 - 1) × π
    -0.096466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30305708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655197143554688 × 2 - 1) × π
    -0.310394287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.975132412071182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30305708} λ = -0.30305708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975132412071182))-π/2
    2×atan(0.37714241204889)-π/2
    2×0.360647625079592-π/2
    0.721295250159184-1.57079632675     		φ = -0.84950108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30305708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.363892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84950108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.672827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29607 KachelY 42939 -0.30305708 -0.84950108 -17.363892 -48.672827
    Oben rechts KachelX + 1 29608 KachelY 42939 -0.30296121 -0.84950108 -17.358399 -48.672827
    Unten links KachelX 29607 KachelY + 1 42940 -0.30305708 -0.84956439 -17.363892 -48.676454
    Unten rechts KachelX + 1 29608 KachelY + 1 42940 -0.30296121 -0.84956439 -17.358399 -48.676454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84950108--0.84956439) × R
    6.33099999999276e-05 × 6371000     		dl = 403.348009999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84950108--0.84956439) × R
    6.33099999999276e-05 × 6371000     		dr = 403.348009999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30305708--0.30296121) × cos(-0.84950108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660357892547279 × 6371000     		do = 403.338524590843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30305708--0.30296121) × cos(-0.84956439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660310348514012 × 6371000     		du = 403.309485276787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84950108)-sin(-0.84956439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660357892547279-0.660310348514012)×R²
    abs(-0.30296121--0.30305708)×4.75440332671218e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75440332671218e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75440332671218e-05×40589641000000     		ar = 162679.934829343m²