Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29607 / 22635
↖ ↑ ↗
← N 48.534795°
W 17.363892°		 ← 404.44 m → N 48.534795°
W 17.358399°		 →
↑
404.49 m
↓
↑
404.49 m
↓
N 48.531157°
W 17.363892°		 ← 404.47 m →
163 601 m²		 N 48.531157°
W 17.358399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451774597167969 y=0.345390319824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451774597167969 × 216)
    floor (0.451774597167969 × 65536)
    floor (29607.5)     		tx = 29607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345390319824219 × 216)
    floor (0.345390319824219 × 65536)
    floor (22635.5)     		ty = 22635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29607 / 22635 ti = "16/29607/22635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29607/22635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29607 ÷ 216
    29607 ÷ 65536     		x = 0.451766967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22635 ÷ 216
    22635 ÷ 65536     		y = 0.345382690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451766967773438 × 2 - 1) × π
    -0.096466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30305708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345382690429688 × 2 - 1) × π
    0.309234619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.971489207700058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30305708} λ = -0.30305708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971489207700058))-π/2
    2×atan(2.64187583314484)-π/2
    2×1.20894414649241-π/2
    2.41788829298483-1.57079632675     		φ = 0.84709197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30305708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.363892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84709197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.534795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29607 KachelY 22635 -0.30305708 0.84709197 -17.363892 48.534795
    Oben rechts KachelX + 1 29608 KachelY 22635 -0.30296121 0.84709197 -17.358399 48.534795
    Unten links KachelX 29607 KachelY + 1 22636 -0.30305708 0.84702848 -17.363892 48.531157
    Unten rechts KachelX + 1 29608 KachelY + 1 22636 -0.30296121 0.84702848 -17.358399 48.531157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84709197-0.84702848) × R
    6.34900000000549e-05 × 6371000     		dl = 404.49479000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84709197-0.84702848) × R
    6.34900000000549e-05 × 6371000     		dr = 404.49479000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30305708--0.30296121) × cos(0.84709197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662165098144808 × 6371000     		do = 404.44234366769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30305708--0.30296121) × cos(0.84702848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662212673548365 × 6371000     		du = 404.471402142335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84709197)-sin(0.84702848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662165098144808-0.662212673548365)×R²
    abs(-0.30296121--0.30305708)×4.7575403556932e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7575403556932e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7575403556932e-05×40589641000000     		ar = 163600.697924572m²