Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29607 / 17758
↖ ↑ ↗
← N 63.317616°
W 17.363892°		 ← 274.27 m → N 63.317616°
W 17.358399°		 →
↑
274.27 m
↓
↑
274.27 m
↓
N 63.315150°
W 17.363892°		 ← 274.29 m →
75 228 m²		 N 63.315150°
W 17.358399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451774597167969 y=0.270973205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451774597167969 × 216)
    floor (0.451774597167969 × 65536)
    floor (29607.5)     		tx = 29607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270973205566406 × 216)
    floor (0.270973205566406 × 65536)
    floor (17758.5)     		ty = 17758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29607 / 17758 ti = "16/29607/17758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29607/17758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29607 ÷ 216
    29607 ÷ 65536     		x = 0.451766967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17758 ÷ 216
    17758 ÷ 65536     		y = 0.270965576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451766967773438 × 2 - 1) × π
    -0.096466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30305708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270965576171875 × 2 - 1) × π
    0.45806884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43906572659409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30305708} λ = -0.30305708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43906572659409))-π/2
    2×atan(4.21675437461937)-π/2
    2×1.33794860505362-π/2
    2.67589721010724-1.57079632675     		φ = 1.10510088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30305708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.363892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10510088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.317616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29607 KachelY 17758 -0.30305708 1.10510088 -17.363892 63.317616
    Oben rechts KachelX + 1 29608 KachelY 17758 -0.30296121 1.10510088 -17.358399 63.317616
    Unten links KachelX 29607 KachelY + 1 17759 -0.30305708 1.10505783 -17.363892 63.315150
    Unten rechts KachelX + 1 29608 KachelY + 1 17759 -0.30296121 1.10505783 -17.358399 63.315150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10510088-1.10505783) × R
    4.30499999999334e-05 × 6371000     		dl = 274.271549999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10510088-1.10505783) × R
    4.30499999999334e-05 × 6371000     		dr = 274.271549999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30305708--0.30296121) × cos(1.10510088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449044298299541 × 6371000     		do = 274.270765589586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30305708--0.30296121) × cos(1.10505783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449082763467194 × 6371000     		du = 274.294259643559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10510088)-sin(1.10505783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449044298299541-0.449082763467194)×R²
    abs(-0.30296121--0.30305708)×3.84651676526016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84651676526016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84651676526016e-05×40589641000000     		ar = 75227.8898847732m²