Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29607 / 17657
↖ ↑ ↗
← N 63.565675°
W 17.363892°		 ← 271.91 m → N 63.565675°
W 17.358399°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
N 63.563230°
W 17.363892°		 ← 271.93 m →
73 938 m²		 N 63.563230°
W 17.358399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451774597167969 y=0.269432067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451774597167969 × 216)
    floor (0.451774597167969 × 65536)
    floor (29607.5)     		tx = 29607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269432067871094 × 216)
    floor (0.269432067871094 × 65536)
    floor (17657.5)     		ty = 17657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29607 / 17657 ti = "16/29607/17657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29607/17657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29607 ÷ 216
    29607 ÷ 65536     		x = 0.451766967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17657 ÷ 216
    17657 ÷ 65536     		y = 0.269424438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451766967773438 × 2 - 1) × π
    -0.096466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30305708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269424438476562 × 2 - 1) × π
    0.461151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.44874898031734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30305708} λ = -0.30305708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44874898031734))-π/2
    2×atan(4.25778460960441)-π/2
    2×1.34011332500124-π/2
    2.68022665000247-1.57079632675     		φ = 1.10943032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30305708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.363892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10943032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.565675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29607 KachelY 17657 -0.30305708 1.10943032 -17.363892 63.565675
    Oben rechts KachelX + 1 29608 KachelY 17657 -0.30296121 1.10943032 -17.358399 63.565675
    Unten links KachelX 29607 KachelY + 1 17658 -0.30305708 1.10938764 -17.363892 63.563230
    Unten rechts KachelX + 1 29608 KachelY + 1 17658 -0.30296121 1.10938764 -17.358399 63.563230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10943032-1.10938764) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dl = 271.914279999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10943032-1.10938764) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dr = 271.914279999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30305708--0.30296121) × cos(1.10943032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445171706187187 × 6371000     		do = 271.905433689161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30305708--0.30296121) × cos(1.10938764) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445209923383945 × 6371000     		du = 271.928776285545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10943032)-sin(1.10938764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445171706187187-0.445209923383945)×R²
    abs(-0.30296121--0.30305708)×3.82171967575617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82171967575617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82171967575617e-05×40589641000000     		ar = 73938.1438333041m²