Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29606 / 41286
↖ ↑ ↗
← S 42.317940°
W 17.369385°		 ← 451.63 m → S 42.317940°
W 17.363892°		 →
↑
451.58 m
↓
↑
451.58 m
↓
S 42.322001°
W 17.369385°		 ← 451.60 m →
203 938 m²		 S 42.322001°
W 17.363892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451759338378906 y=0.629981994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451759338378906 × 216)
    floor (0.451759338378906 × 65536)
    floor (29606.5)     		tx = 29606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629981994628906 × 216)
    floor (0.629981994628906 × 65536)
    floor (41286.5)     		ty = 41286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29606 / 41286 ti = "16/29606/41286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29606/41286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29606 ÷ 216
    29606 ÷ 65536     		x = 0.451751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41286 ÷ 216
    41286 ÷ 65536     		y = 0.629974365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.09649658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30315295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.25994873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.816653021927277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30315295} λ = -0.30315295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816653021927277))-π/2
    2×atan(0.441908239266148)-π/2
    2×0.416104475336034-π/2
    0.832208950672068-1.57079632675     		φ = -0.73858738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30315295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.369385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73858738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.317940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29606 KachelY 41286 -0.30315295 -0.73858738 -17.369385 -42.317940
    Oben rechts KachelX + 1 29607 KachelY 41286 -0.30305708 -0.73858738 -17.363892 -42.317940
    Unten links KachelX 29606 KachelY + 1 41287 -0.30315295 -0.73865826 -17.369385 -42.322001
    Unten rechts KachelX + 1 29607 KachelY + 1 41287 -0.30305708 -0.73865826 -17.363892 -42.322001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73858738--0.73865826) × R
    7.08799999999954e-05 × 6371000     		dl = 451.576479999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73858738--0.73865826) × R
    7.08799999999954e-05 × 6371000     		dr = 451.576479999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30315295--0.30305708) × cos(-0.73858738) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73942033419739 × 6371000     		do = 451.628897017068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30315295--0.30305708) × cos(-0.73865826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739372612800776 × 6371000     		du = 451.59974937165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73858738)-sin(-0.73865826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73942033419739-0.739372612800776)×R²
    abs(-0.30305708--0.30315295)×4.77213966131318e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77213966131318e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77213966131318e-05×40589641000000     		ar = 203938.406471065m²