Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29605 / 42735
↖ ↑ ↗
← S 47.927386°
W 17.374878°		 ← 409.31 m → S 47.927386°
W 17.369385°		 →
↑
409.27 m
↓
↑
409.27 m
↓
S 47.931066°
W 17.374878°		 ← 409.29 m →
167 515 m²		 S 47.931066°
W 17.369385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451744079589844 y=0.652091979980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451744079589844 × 216)
    floor (0.451744079589844 × 65536)
    floor (29605.5)     		tx = 29605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652091979980469 × 216)
    floor (0.652091979980469 × 65536)
    floor (42735.5)     		ty = 42735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29605 / 42735 ti = "16/29605/42735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29605/42735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29605 ÷ 216
    29605 ÷ 65536     		x = 0.451736450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42735 ÷ 216
    42735 ÷ 65536     		y = 0.652084350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451736450195312 × 2 - 1) × π
    -0.096527099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30324883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652084350585938 × 2 - 1) × π
    -0.304168701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.955574157026199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30324883} λ = -0.30324883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.955574157026199))-π/2
    2×atan(0.384591265372151)-π/2
    2×0.367152822555094-π/2
    0.734305645110188-1.57079632675     		φ = -0.83649068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30324883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.374878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83649068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.927386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29605 KachelY 42735 -0.30324883 -0.83649068 -17.374878 -47.927386
    Oben rechts KachelX + 1 29606 KachelY 42735 -0.30315295 -0.83649068 -17.369385 -47.927386
    Unten links KachelX 29605 KachelY + 1 42736 -0.30324883 -0.83655492 -17.374878 -47.931066
    Unten rechts KachelX + 1 29606 KachelY + 1 42736 -0.30315295 -0.83655492 -17.369385 -47.931066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83649068--0.83655492) × R
    6.42399999999377e-05 × 6371000     		dl = 409.273039999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83649068--0.83655492) × R
    6.42399999999377e-05 × 6371000     		dr = 409.273039999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30324883--0.30315295) × cos(-0.83649068) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.670071901464154 × 6371000     		do = 409.314412715998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30324883--0.30315295) × cos(-0.83655492) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.670024214973752 × 6371000     		du = 409.28528335276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83649068)-sin(-0.83655492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670071901464154-0.670024214973752)×R²
    abs(-0.30315295--0.30324883)×4.7686490401877e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7686490401877e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7686490401877e-05×40589641000000     		ar = 167515.393134337m²