Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29605 / 41285
↖ ↑ ↗
← S 42.313877°
W 17.374878°		 ← 451.71 m → S 42.313877°
W 17.369385°		 →
↑
451.70 m
↓
↑
451.70 m
↓
S 42.317940°
W 17.374878°		 ← 451.68 m →
204 030 m²		 S 42.317940°
W 17.369385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451744079589844 y=0.629966735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451744079589844 × 216)
    floor (0.451744079589844 × 65536)
    floor (29605.5)     		tx = 29605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629966735839844 × 216)
    floor (0.629966735839844 × 65536)
    floor (41285.5)     		ty = 41285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29605 / 41285 ti = "16/29605/41285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29605/41285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29605 ÷ 216
    29605 ÷ 65536     		x = 0.451736450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41285 ÷ 216
    41285 ÷ 65536     		y = 0.629959106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451736450195312 × 2 - 1) × π
    -0.096527099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30324883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629959106445312 × 2 - 1) × π
    -0.259918212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.816557148128036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30324883} λ = -0.30324883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816557148128036))-π/2
    2×atan(0.441950608718989)-π/2
    2×0.416139921998433-π/2
    0.832279843996866-1.57079632675     		φ = -0.73851648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30324883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.374878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73851648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.313877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29605 KachelY 41285 -0.30324883 -0.73851648 -17.374878 -42.313877
    Oben rechts KachelX + 1 29606 KachelY 41285 -0.30315295 -0.73851648 -17.369385 -42.313877
    Unten links KachelX 29605 KachelY + 1 41286 -0.30324883 -0.73858738 -17.374878 -42.317940
    Unten rechts KachelX + 1 29606 KachelY + 1 41286 -0.30315295 -0.73858738 -17.369385 -42.317940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73851648--0.73858738) × R
    7.08999999999849e-05 × 6371000     		dl = 451.703899999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73851648--0.73858738) × R
    7.08999999999849e-05 × 6371000     		dr = 451.703899999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30324883--0.30315295) × cos(-0.73851648) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.739468065343007 × 6371000     		do = 451.705162127739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30324883--0.30315295) × cos(-0.73858738) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.73942033419739 × 6371000     		du = 451.676005486797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73851648)-sin(-0.73858738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739468065343007-0.73942033419739)×R²
    abs(-0.30315295--0.30324883)×4.77311456171803e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77311456171803e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77311456171803e-05×40589641000000     		ar = 204030.398384107m²