Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29605 / 19451
↖ ↑ ↗
← N 58.827961°
W 17.374878°		 ← 316.18 m → N 58.827961°
W 17.369385°		 →
↑
316.19 m
↓
↑
316.19 m
↓
N 58.825118°
W 17.374878°		 ← 316.21 m →
99 979 m²		 N 58.825118°
W 17.369385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451744079589844 y=0.296806335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451744079589844 × 216)
    floor (0.451744079589844 × 65536)
    floor (29605.5)     		tx = 29605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296806335449219 × 216)
    floor (0.296806335449219 × 65536)
    floor (19451.5)     		ty = 19451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29605 / 19451 ti = "16/29605/19451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29605/19451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29605 ÷ 216
    29605 ÷ 65536     		x = 0.451736450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19451 ÷ 216
    19451 ÷ 65536     		y = 0.296798706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451736450195312 × 2 - 1) × π
    -0.096527099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30324883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296798706054688 × 2 - 1) × π
    0.406402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27675138448058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30324883} λ = -0.30324883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27675138448058))-π/2
    2×atan(3.58497458397803)-π/2
    2×1.29876897098845-π/2
    2.5975379419769-1.57079632675     		φ = 1.02674162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30324883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.374878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02674162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.827961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29605 KachelY 19451 -0.30324883 1.02674162 -17.374878 58.827961
    Oben rechts KachelX + 1 29606 KachelY 19451 -0.30315295 1.02674162 -17.369385 58.827961
    Unten links KachelX 29605 KachelY + 1 19452 -0.30324883 1.02669199 -17.374878 58.825118
    Unten rechts KachelX + 1 29606 KachelY + 1 19452 -0.30315295 1.02669199 -17.369385 58.825118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02674162-1.02669199) × R
    4.96299999999117e-05 × 6371000     		dl = 316.192729999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02674162-1.02669199) × R
    4.96299999999117e-05 × 6371000     		dr = 316.192729999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30324883--0.30315295) × cos(1.02674162) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.517609512983625 × 6371000     		do = 316.182537068285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30324883--0.30315295) × cos(1.02669199) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.517651976616146 × 6371000     		du = 316.208476041057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02674162)-sin(1.02669199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517609512983625-0.517651976616146)×R²
    abs(-0.30315295--0.30324883)×4.24636325209171e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.24636325209171e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.24636325209171e-05×40589641000000     		ar = 99978.7204516159m²