Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29601 / 40862
↖ ↑ ↗
← S 40.572240°
W 17.396850°		 ← 463.95 m → S 40.572240°
W 17.391358°		 →
↑
464 m
↓
↑
464 m
↓
S 40.576413°
W 17.396850°		 ← 463.92 m →
215 264 m²		 S 40.576413°
W 17.391358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451683044433594 y=0.623512268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451683044433594 × 216)
    floor (0.451683044433594 × 65536)
    floor (29601.5)     		tx = 29601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623512268066406 × 216)
    floor (0.623512268066406 × 65536)
    floor (40862.5)     		ty = 40862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29601 / 40862 ti = "16/29601/40862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29601/40862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29601 ÷ 216
    29601 ÷ 65536     		x = 0.451675415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40862 ÷ 216
    40862 ÷ 65536     		y = 0.623504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451675415039062 × 2 - 1) × π
    -0.096649169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30363232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623504638671875 × 2 - 1) × π
    -0.24700927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.776002531049469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30363232} λ = -0.30363232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.776002531049469))-π/2
    2×atan(0.460242142595988)-π/2
    2×0.431338575923471-π/2
    0.862677151846943-1.57079632675     		φ = -0.70811917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30363232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.396850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70811917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.572240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29601 KachelY 40862 -0.30363232 -0.70811917 -17.396850 -40.572240
    Oben rechts KachelX + 1 29602 KachelY 40862 -0.30353645 -0.70811917 -17.391358 -40.572240
    Unten links KachelX 29601 KachelY + 1 40863 -0.30363232 -0.70819200 -17.396850 -40.576413
    Unten rechts KachelX + 1 29602 KachelY + 1 40863 -0.30353645 -0.70819200 -17.391358 -40.576413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70811917--0.70819200) × R
    7.28300000000237e-05 × 6371000     		dl = 463.999930000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70811917--0.70819200) × R
    7.28300000000237e-05 × 6371000     		dr = 463.999930000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30363232--0.30353645) × cos(-0.70811917) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.759586522418911 × 6371000     		do = 463.946158150292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30363232--0.30353645) × cos(-0.70819200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.759539151315867 × 6371000     		du = 463.917224459901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70811917)-sin(-0.70819200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759586522418911-0.759539151315867)×R²
    abs(-0.30353645--0.30363232)×4.73711030436474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73711030436474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73711030436474e-05×40589641000000     		ar = 215264.272385539m²