Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29600 / 29977
↖ ↑ ↗
← S 81.558686°
E145.195312°		 ← 179.33 m → S 81.558686°
E145.206299°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
S 81.560299°
E145.195312°		 ← 179.30 m →
32 159 m²		 S 81.560299°
E145.206299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.903335571289062 y=0.914840698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.903335571289062 × 215)
    floor (0.903335571289062 × 32768)
    floor (29600.5)     		tx = 29600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914840698242188 × 215)
    floor (0.914840698242188 × 32768)
    floor (29977.5)     		ty = 29977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29600 / 29977 ti = "15/29600/29977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29600/29977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29600 ÷ 215
    29600 ÷ 32768     		x = 0.9033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29977 ÷ 215
    29977 ÷ 32768     		y = 0.914825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9033203125 × 2 - 1) × π
    0.806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.53413626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914825439453125 × 2 - 1) × π
    -0.82965087890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60642510614169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53413626} λ = 2.53413626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60642510614169))-π/2
    2×atan(0.0737978923931659)-π/2
    2×0.0736643575258176-π/2
    0.147328715051635-1.57079632675     		φ = -1.42346761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53413626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42346761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.558686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29600 KachelY 29977 2.53413626 -1.42346761 145.195312 -81.558686
    Oben rechts KachelX + 1 29601 KachelY 29977 2.53432801 -1.42346761 145.206299 -81.558686
    Unten links KachelX 29600 KachelY + 1 29978 2.53413626 -1.42349576 145.195312 -81.560299
    Unten rechts KachelX + 1 29601 KachelY + 1 29978 2.53432801 -1.42349576 145.206299 -81.560299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42346761--1.42349576) × R
    2.81499999998935e-05 × 6371000     		dl = 179.343649999322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42346761--1.42349576) × R
    2.81499999998935e-05 × 6371000     		dr = 179.343649999322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53413626-2.53432801) × cos(-1.42346761) × R
    0.000191749999999935 × 0.146796314864123 × 6371000     		do = 179.33213999331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53413626-2.53432801) × cos(-1.42349576) × R
    0.000191749999999935 × 0.146768469762199 × 6371000     		du = 179.298123323879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42346761)-sin(-1.42349576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146796314864123-0.146768469762199)×R²
    abs(2.53432801-2.53413626)×2.78451019239956e-05×R²
    0.000191749999999935×2.78451019239956e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.78451019239956e-05×40589641000000     		ar = 32159.0302140782m²