Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29598 / 19433
↖ ↑ ↗
← N 58.879103°
W 17.413330°		 ← 315.68 m → N 58.879103°
W 17.407837°		 →
↑
315.68 m
↓
↑
315.68 m
↓
N 58.876264°
W 17.413330°		 ← 315.71 m →
99 660 m²		 N 58.876264°
W 17.407837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451637268066406 y=0.296531677246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451637268066406 × 216)
    floor (0.451637268066406 × 65536)
    floor (29598.5)     		tx = 29598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296531677246094 × 216)
    floor (0.296531677246094 × 65536)
    floor (19433.5)     		ty = 19433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29598 / 19433 ti = "16/29598/19433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29598/19433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29598 ÷ 216
    29598 ÷ 65536     		x = 0.451629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19433 ÷ 216
    19433 ÷ 65536     		y = 0.296524047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.09674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30391994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296524047851562 × 2 - 1) × π
    0.406951904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2784771128669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30391994} λ = -0.30391994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2784771128669))-π/2
    2×atan(3.59116661772932)-π/2
    2×1.29921526807362-π/2
    2.59843053614724-1.57079632675     		φ = 1.02763421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30391994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.413330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02763421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.879103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29598 KachelY 19433 -0.30391994 1.02763421 -17.413330 58.879103
    Oben rechts KachelX + 1 29599 KachelY 19433 -0.30382407 1.02763421 -17.407837 58.879103
    Unten links KachelX 29598 KachelY + 1 19434 -0.30391994 1.02758466 -17.413330 58.876264
    Unten rechts KachelX + 1 29599 KachelY + 1 19434 -0.30382407 1.02758466 -17.407837 58.876264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02763421-1.02758466) × R
    4.95499999999538e-05 × 6371000     		dl = 315.683049999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02763421-1.02758466) × R
    4.95499999999538e-05 × 6371000     		dr = 315.683049999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30391994--0.30382407) × cos(1.02763421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.516845591743471 × 6371000     		do = 315.682966415318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30391994--0.30382407) × cos(1.02758466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.516888009805482 × 6371000     		du = 315.708874848822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02763421)-sin(1.02758466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516845591743471-0.516888009805482)×R²
    abs(-0.30382407--0.30391994)×4.2418062011107e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2418062011107e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2418062011107e-05×40589641000000     		ar = 99659.8511177443m²