Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29597 / 42712
↖ ↑ ↗
← S 47.842658°
W 17.418823°		 ← 409.98 m → S 47.842658°
W 17.413330°		 →
↑
409.91 m
↓
↑
409.91 m
↓
S 47.846344°
W 17.418823°		 ← 409.96 m →
168 051 m²		 S 47.846344°
W 17.413330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451622009277344 y=0.651741027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451622009277344 × 216)
    floor (0.451622009277344 × 65536)
    floor (29597.5)     		tx = 29597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651741027832031 × 216)
    floor (0.651741027832031 × 65536)
    floor (42712.5)     		ty = 42712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29597 / 42712 ti = "16/29597/42712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29597/42712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29597 ÷ 216
    29597 ÷ 65536     		x = 0.451614379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42712 ÷ 216
    42712 ÷ 65536     		y = 0.6517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451614379882812 × 2 - 1) × π
    -0.096771240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30401582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.953369059643677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30401582} λ = -0.30401582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953369059643677))-π/2
    2×atan(0.385440262281178)-π/2
    2×0.367892214148659-π/2
    0.735784428297319-1.57079632675     		φ = -0.83501190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30401582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.418823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83501190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.842658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29597 KachelY 42712 -0.30401582 -0.83501190 -17.418823 -47.842658
    Oben rechts KachelX + 1 29598 KachelY 42712 -0.30391994 -0.83501190 -17.413330 -47.842658
    Unten links KachelX 29597 KachelY + 1 42713 -0.30401582 -0.83507624 -17.418823 -47.846344
    Unten rechts KachelX + 1 29598 KachelY + 1 42713 -0.30391994 -0.83507624 -17.413330 -47.846344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83501190--0.83507624) × R
    6.43399999999961e-05 × 6371000     		dl = 409.910139999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83501190--0.83507624) × R
    6.43399999999961e-05 × 6371000     		dr = 409.910139999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30401582--0.30391994) × cos(-0.83501190) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.67116886118383 × 6371000     		do = 409.984492184026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30401582--0.30391994) × cos(-0.83507624) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.67112116426322 × 6371000     		du = 409.95535644948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83501190)-sin(-0.83507624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67116886118383-0.67112116426322)×R²
    abs(-0.30391994--0.30401582)×4.76969206101296e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76969206101296e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76969206101296e-05×40589641000000     		ar = 168050.829130298m²