Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29595 / 19481
↖ ↑ ↗
← N 58.742557°
W 17.429809°		 ← 316.93 m → N 58.742557°
W 17.424316°		 →
↑
316.96 m
↓
↑
316.96 m
↓
N 58.739706°
W 17.429809°		 ← 316.95 m →
100 457 m²		 N 58.739706°
W 17.424316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451591491699219 y=0.297264099121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451591491699219 × 216)
    floor (0.451591491699219 × 65536)
    floor (29595.5)     		tx = 29595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297264099121094 × 216)
    floor (0.297264099121094 × 65536)
    floor (19481.5)     		ty = 19481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29595 / 19481 ti = "16/29595/19481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29595/19481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29595 ÷ 216
    29595 ÷ 65536     		x = 0.451583862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19481 ÷ 216
    19481 ÷ 65536     		y = 0.297256469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451583862304688 × 2 - 1) × π
    -0.096832275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30420756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297256469726562 × 2 - 1) × π
    0.405487060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27387517050337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30420756} λ = -0.30420756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27387517050337))-π/2
    2×atan(3.57467824430784)-π/2
    2×1.29802367671485-π/2
    2.5960473534297-1.57079632675     		φ = 1.02525103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30420756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.429809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02525103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.742557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29595 KachelY 19481 -0.30420756 1.02525103 -17.429809 58.742557
    Oben rechts KachelX + 1 29596 KachelY 19481 -0.30411169 1.02525103 -17.424316 58.742557
    Unten links KachelX 29595 KachelY + 1 19482 -0.30420756 1.02520128 -17.429809 58.739706
    Unten rechts KachelX + 1 29596 KachelY + 1 19482 -0.30411169 1.02520128 -17.424316 58.739706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02525103-1.02520128) × R
    4.97499999998485e-05 × 6371000     		dl = 316.957249999035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02525103-1.02520128) × R
    4.97499999998485e-05 × 6371000     		dr = 316.957249999035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30420756--0.30411169) × cos(1.02525103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518884311576856 × 6371000     		do = 316.928191556006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30420756--0.30411169) × cos(1.02520128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518926839447182 × 6371000     		du = 316.954167059085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02525103)-sin(1.02520128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518884311576856-0.518926839447182)×R²
    abs(-0.30411169--0.30420756)×4.25278703256593e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25278703256593e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25278703256593e-05×40589641000000     		ar = 100456.804625649m²