Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29593 / 42711
↖ ↑ ↗
← S 47.838971°
W 17.440796°		 ← 409.97 m → S 47.838971°
W 17.435303°		 →
↑
409.97 m
↓
↑
409.97 m
↓
S 47.842658°
W 17.440796°		 ← 409.94 m →
168 071 m²		 S 47.842658°
W 17.435303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451560974121094 y=0.651725769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451560974121094 × 216)
    floor (0.451560974121094 × 65536)
    floor (29593.5)     		tx = 29593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651725769042969 × 216)
    floor (0.651725769042969 × 65536)
    floor (42711.5)     		ty = 42711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29593 / 42711 ti = "16/29593/42711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29593/42711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29593 ÷ 216
    29593 ÷ 65536     		x = 0.451553344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42711 ÷ 216
    42711 ÷ 65536     		y = 0.651718139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451553344726562 × 2 - 1) × π
    -0.096893310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30439931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651718139648438 × 2 - 1) × π
    -0.303436279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.953273185844437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30439931} λ = -0.30439931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953273185844437))-π/2
    2×atan(0.385477217675002)-π/2
    2×0.367924389046366-π/2
    0.735848778092732-1.57079632675     		φ = -0.83494755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30439931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.440796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83494755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.838971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29593 KachelY 42711 -0.30439931 -0.83494755 -17.440796 -47.838971
    Oben rechts KachelX + 1 29594 KachelY 42711 -0.30430344 -0.83494755 -17.435303 -47.838971
    Unten links KachelX 29593 KachelY + 1 42712 -0.30439931 -0.83501190 -17.440796 -47.842658
    Unten rechts KachelX + 1 29594 KachelY + 1 42712 -0.30430344 -0.83501190 -17.435303 -47.842658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83494755--0.83501190) × R
    6.43500000000463e-05 × 6371000     		dl = 409.973850000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83494755--0.83501190) × R
    6.43500000000463e-05 × 6371000     		dr = 409.973850000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30439931--0.30430344) × cos(-0.83494755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671216562738659 × 6371000     		do = 409.970867542202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30439931--0.30430344) × cos(-0.83501190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.67116886118383 × 6371000     		du = 409.941732015902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83494755)-sin(-0.83501190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671216562738659-0.67116886118383)×R²
    abs(-0.30430344--0.30439931)×4.77015548285831e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77015548285831e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77015548285831e-05×40589641000000     		ar = 168071.362610499m²