Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29592 / 22691
↖ ↑ ↗
← N 48.330691°
W 17.446289°		 ← 406.11 m → N 48.330691°
W 17.440796°		 →
↑
406.09 m
↓
↑
406.09 m
↓
N 48.327039°
W 17.446289°		 ← 406.14 m →
164 923 m²		 N 48.327039°
W 17.440796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451545715332031 y=0.346244812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451545715332031 × 216)
    floor (0.451545715332031 × 65536)
    floor (29592.5)     		tx = 29592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346244812011719 × 216)
    floor (0.346244812011719 × 65536)
    floor (22691.5)     		ty = 22691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29592 / 22691 ti = "16/29592/22691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29592/22691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29592 ÷ 216
    29592 ÷ 65536     		x = 0.4515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22691 ÷ 216
    22691 ÷ 65536     		y = 0.346237182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30449519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346237182617188 × 2 - 1) × π
    0.307525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.966120274942612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30449519} λ = -0.30449519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966120274942612))-π/2
    2×atan(2.62772978800621)-π/2
    2×1.20716300971828-π/2
    2.41432601943657-1.57079632675     		φ = 0.84352969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30449519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.446289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84352969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.330691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29592 KachelY 22691 -0.30449519 0.84352969 -17.446289 48.330691
    Oben rechts KachelX + 1 29593 KachelY 22691 -0.30439931 0.84352969 -17.440796 48.330691
    Unten links KachelX 29592 KachelY + 1 22692 -0.30449519 0.84346595 -17.446289 48.327039
    Unten rechts KachelX + 1 29593 KachelY + 1 22692 -0.30439931 0.84346595 -17.440796 48.327039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84352969-0.84346595) × R
    6.37399999999788e-05 × 6371000     		dl = 406.087539999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84352969-0.84346595) × R
    6.37399999999788e-05 × 6371000     		dr = 406.087539999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30449519--0.30439931) × cos(0.84352969) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.664830314065763 × 6371000     		do = 406.11258129614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30449519--0.30439931) × cos(0.84346595) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.664877926139102 × 6371000     		du = 406.141665201605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84352969)-sin(0.84346595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664830314065763-0.664877926139102)×R²
    abs(-0.30439931--0.30449519)×4.76120733392538e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76120733392538e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76120733392538e-05×40589641000000     		ar = 164923.164463082m²