Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29591 / 41306
S 42.399122°
W 17.451782°
← 451.05 m → S 42.399122°
W 17.446289°

451.07 m

451.07 m
S 42.403179°
W 17.451782°
← 451.02 m →
203 445 m²
S 42.403179°
W 17.446289°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451530456542969 y=0.630287170410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451530456542969 × 216)
    floor (0.451530456542969 × 65536)
    floor (29591.5)
    tx = 29591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630287170410156 × 216)
    floor (0.630287170410156 × 65536)
    floor (41306.5)
    ty = 41306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29591 / 41306 ti = "16/29591/41306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29591/41306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29591 ÷ 216
    29591 ÷ 65536
    x = 0.451522827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41306 ÷ 216
    41306 ÷ 65536
    y = 0.630279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.451522827148438 × 2 - 1) × π
    -0.096954345703125 × 3.1415926535
    Λ = -0.30459106
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.630279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.26055908203125 × 3.1415926535
    Φ = -0.818570497912079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30459106} λ = -0.30459106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818570497912079))-π/2
    2×atan(0.441061702696013)-π/2
    2×0.415396022583664-π/2
    0.830792045167327-1.57079632675
    φ = -0.74000428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30459106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.451782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74000428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.399122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29591 KachelY 41306 -0.30459106 -0.74000428 -17.451782 -42.399122
    Oben rechts KachelX + 1 29592 KachelY 41306 -0.30449519 -0.74000428 -17.446289 -42.399122
    Unten links KachelX 29591 KachelY + 1 41307 -0.30459106 -0.74007508 -17.451782 -42.403179
    Unten rechts KachelX + 1 29592 KachelY + 1 41307 -0.30449519 -0.74007508 -17.446289 -42.403179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.74000428--0.74007508) × R
    7.08000000000375e-05 × 6371000
    dl = 451.066800000239m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.74000428--0.74007508) × R
    7.08000000000375e-05 × 6371000
    dr = 451.066800000239m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30459106--0.30449519) × cos(-0.74000428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.738465672770562 × 6371000
    do = 451.045801493072m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30459106--0.30449519) × cos(-0.74007508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.738417931111854 × 6371000
    du = 451.016641471813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.74000428)-sin(-0.74007508))×
    abs(λ12)×abs(0.738465672770562-0.738417931111854)×
    abs(-0.30449519--0.30459106)×4.77416587080226e-05×
    9.58699999999979e-05×4.77416587080226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77416587080226e-05×40589641000000
    ar = 203445.209859068m²