Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29591 / 22692
↖ ↑ ↗
← N 48.327039°
W 17.451782°		 ← 406.10 m → N 48.327039°
W 17.446289°		 →
↑
406.15 m
↓
↑
406.15 m
↓
N 48.323386°
W 17.451782°		 ← 406.13 m →
164 944 m²		 N 48.323386°
W 17.446289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451530456542969 y=0.346260070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451530456542969 × 216)
    floor (0.451530456542969 × 65536)
    floor (29591.5)     		tx = 29591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346260070800781 × 216)
    floor (0.346260070800781 × 65536)
    floor (22692.5)     		ty = 22692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29591 / 22692 ti = "16/29591/22692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29591/22692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29591 ÷ 216
    29591 ÷ 65536     		x = 0.451522827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22692 ÷ 216
    22692 ÷ 65536     		y = 0.34625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451522827148438 × 2 - 1) × π
    -0.096954345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30459106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34625244140625 × 2 - 1) × π
    0.3074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.966024401143372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30459106} λ = -0.30459106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966024401143372))-π/2
    2×atan(2.62747786964444)-π/2
    2×1.20713113867313-π/2
    2.41426227734625-1.57079632675     		φ = 0.84346595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30459106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.451782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84346595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.327039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29591 KachelY 22692 -0.30459106 0.84346595 -17.451782 48.327039
    Oben rechts KachelX + 1 29592 KachelY 22692 -0.30449519 0.84346595 -17.446289 48.327039
    Unten links KachelX 29591 KachelY + 1 22693 -0.30459106 0.84340220 -17.451782 48.323386
    Unten rechts KachelX + 1 29592 KachelY + 1 22693 -0.30449519 0.84340220 -17.446289 48.323386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84346595-0.84340220) × R
    6.37500000000291e-05 × 6371000     		dl = 406.151250000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84346595-0.84340220) × R
    6.37500000000291e-05 × 6371000     		dr = 406.151250000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30459106--0.30449519) × cos(0.84346595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664877926139102 × 6371000     		do = 406.099305828718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30459106--0.30449519) × cos(0.84340220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.66492554298028 × 6371000     		du = 406.128389612955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84346595)-sin(0.84340220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664877926139102-0.66492554298028)×R²
    abs(-0.30449519--0.30459106)×4.76168411779332e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76168411779332e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76168411779332e-05×40589641000000     		ar = 164943.646950234m²