Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29591 / 19388
↖ ↑ ↗
← N 59.006627°
W 17.451782°		 ← 314.52 m → N 59.006627°
W 17.446289°		 →
↑
314.54 m
↓
↑
314.54 m
↓
N 59.003799°
W 17.451782°		 ← 314.54 m →
98 932 m²		 N 59.003799°
W 17.446289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451530456542969 y=0.295845031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451530456542969 × 216)
    floor (0.451530456542969 × 65536)
    floor (29591.5)     		tx = 29591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295845031738281 × 216)
    floor (0.295845031738281 × 65536)
    floor (19388.5)     		ty = 19388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29591 / 19388 ti = "16/29591/19388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29591/19388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29591 ÷ 216
    29591 ÷ 65536     		x = 0.451522827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19388 ÷ 216
    19388 ÷ 65536     		y = 0.29583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451522827148438 × 2 - 1) × π
    -0.096954345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30459106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29583740234375 × 2 - 1) × π
    0.4083251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2827914338327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30459106} λ = -0.30459106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2827914338327))-π/2
    2×atan(3.6066935331242)-π/2
    2×1.30032812965428-π/2
    2.60065625930855-1.57079632675     		φ = 1.02985993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30459106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.451782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02985993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.006627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29591 KachelY 19388 -0.30459106 1.02985993 -17.451782 59.006627
    Oben rechts KachelX + 1 29592 KachelY 19388 -0.30449519 1.02985993 -17.446289 59.006627
    Unten links KachelX 29591 KachelY + 1 19389 -0.30459106 1.02981056 -17.451782 59.003799
    Unten rechts KachelX + 1 29592 KachelY + 1 19389 -0.30449519 1.02981056 -17.446289 59.003799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02985993-1.02981056) × R
    4.93699999999375e-05 × 6371000     		dl = 314.536269999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02985993-1.02981056) × R
    4.93699999999375e-05 × 6371000     		dr = 314.536269999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30459106--0.30449519) × cos(1.02985993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.514938921788707 × 6371000     		do = 314.518395725522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30459106--0.30449519) × cos(1.02981056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.514981242451712 × 6371000     		du = 314.544244668903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02985993)-sin(1.02981056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514938921788707-0.514981242451712)×R²
    abs(-0.30449519--0.30459106)×4.23206630045803e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23206630045803e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23206630045803e-05×40589641000000     		ar = 98931.5082729008m²