Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29590 / 42921
↖ ↑ ↗
← S 48.607490°
W 17.457275°		 ← 403.86 m → S 48.607490°
W 17.451782°		 →
↑
403.86 m
↓
↑
403.86 m
↓
S 48.611122°
W 17.457275°		 ← 403.83 m →
163 097 m²		 S 48.611122°
W 17.451782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451515197753906 y=0.654930114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451515197753906 × 216)
    floor (0.451515197753906 × 65536)
    floor (29590.5)     		tx = 29590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654930114746094 × 216)
    floor (0.654930114746094 × 65536)
    floor (42921.5)     		ty = 42921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29590 / 42921 ti = "16/29590/42921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29590/42921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29590 ÷ 216
    29590 ÷ 65536     		x = 0.451507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42921 ÷ 216
    42921 ÷ 65536     		y = 0.654922485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.09698486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30468693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654922485351562 × 2 - 1) × π
    -0.309844970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.97340668368486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30468693} λ = -0.30468693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97340668368486))-π/2
    2×atan(0.377793819329401)-π/2
    2×0.361217793510001-π/2
    0.722435587020003-1.57079632675     		φ = -0.84836074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30468693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.457275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84836074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.607490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29590 KachelY 42921 -0.30468693 -0.84836074 -17.457275 -48.607490
    Oben rechts KachelX + 1 29591 KachelY 42921 -0.30459106 -0.84836074 -17.451782 -48.607490
    Unten links KachelX 29590 KachelY + 1 42922 -0.30468693 -0.84842413 -17.457275 -48.611122
    Unten rechts KachelX + 1 29591 KachelY + 1 42922 -0.30459106 -0.84842413 -17.451782 -48.611122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84836074--0.84842413) × R
    6.33900000001075e-05 × 6371000     		dl = 403.857690000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84836074--0.84842413) × R
    6.33900000001075e-05 × 6371000     		dr = 403.857690000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30468693--0.30459106) × cos(-0.84836074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661213802505989 × 6371000     		do = 403.861303925845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30468693--0.30459106) × cos(-0.84842413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661166246157245 × 6371000     		du = 403.832257089646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84836074)-sin(-0.84842413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661213802505989-0.661166246157245)×R²
    abs(-0.30459106--0.30468693)×4.75563487444264e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75563487444264e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75563487444264e-05×40589641000000     		ar = 163096.627944603m²