Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29589 / 22650
↖ ↑ ↗
← N 48.480204°
W 17.462769°		 ← 404.92 m → N 48.480204°
W 17.457275°		 →
↑
404.94 m
↓
↑
404.94 m
↓
N 48.476563°
W 17.462769°		 ← 404.95 m →
163 975 m²		 N 48.476563°
W 17.457275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451499938964844 y=0.345619201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451499938964844 × 216)
    floor (0.451499938964844 × 65536)
    floor (29589.5)     		tx = 29589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345619201660156 × 216)
    floor (0.345619201660156 × 65536)
    floor (22650.5)     		ty = 22650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29589 / 22650 ti = "16/29589/22650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29589/22650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29589 ÷ 216
    29589 ÷ 65536     		x = 0.451492309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22650 ÷ 216
    22650 ÷ 65536     		y = 0.345611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451492309570312 × 2 - 1) × π
    -0.097015380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30478281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345611572265625 × 2 - 1) × π
    0.30877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.970051100711456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30478281} λ = -0.30478281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970051100711456))-π/2
    2×atan(2.63807926363708)-π/2
    2×1.20846775778906-π/2
    2.41693551557812-1.57079632675     		φ = 0.84613919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30478281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.462769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84613919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.480204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29589 KachelY 22650 -0.30478281 0.84613919 -17.462769 48.480204
    Oben rechts KachelX + 1 29590 KachelY 22650 -0.30468693 0.84613919 -17.457275 48.480204
    Unten links KachelX 29589 KachelY + 1 22651 -0.30478281 0.84607563 -17.462769 48.476563
    Unten rechts KachelX + 1 29590 KachelY + 1 22651 -0.30468693 0.84607563 -17.457275 48.476563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84613919-0.84607563) × R
    6.35600000000736e-05 × 6371000     		dl = 404.940760000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84613919-0.84607563) × R
    6.35600000000736e-05 × 6371000     		dr = 404.940760000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30478281--0.30468693) × cos(0.84613919) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.662878770780042 × 6371000     		do = 404.920478191539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30478281--0.30468693) × cos(0.84607563) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.662926358512804 × 6371000     		du = 404.949547228526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84613919)-sin(0.84607563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662878770780042-0.662926358512804)×R²
    abs(-0.30468693--0.30478281)×4.75877327614782e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75877327614782e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75877327614782e-05×40589641000000     		ar = 163974.691852717m²