Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29586 / 42924
↖ ↑ ↗
← S 48.618385°
W 17.479248°		 ← 403.77 m → S 48.618385°
W 17.473755°		 →
↑
403.79 m
↓
↑
403.79 m
↓
S 48.622017°
W 17.479248°		 ← 403.75 m →
163 036 m²		 S 48.622017°
W 17.473755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451454162597656 y=0.654975891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451454162597656 × 216)
    floor (0.451454162597656 × 65536)
    floor (29586.5)     		tx = 29586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654975891113281 × 216)
    floor (0.654975891113281 × 65536)
    floor (42924.5)     		ty = 42924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29586 / 42924 ti = "16/29586/42924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29586/42924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29586 ÷ 216
    29586 ÷ 65536     		x = 0.451446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42924 ÷ 216
    42924 ÷ 65536     		y = 0.65496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.09710693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30507043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.3099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.973694305082581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30507043} λ = -0.30507043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.973694305082581))-π/2
    2×atan(0.377685173368236)-π/2
    2×0.361122714149657-π/2
    0.722245428299315-1.57079632675     		φ = -0.84855090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30507043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.479248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84855090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.618385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29586 KachelY 42924 -0.30507043 -0.84855090 -17.479248 -48.618385
    Oben rechts KachelX + 1 29587 KachelY 42924 -0.30497456 -0.84855090 -17.473755 -48.618385
    Unten links KachelX 29586 KachelY + 1 42925 -0.30507043 -0.84861428 -17.479248 -48.622017
    Unten rechts KachelX + 1 29587 KachelY + 1 42925 -0.30497456 -0.84861428 -17.473755 -48.622017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84855090--0.84861428) × R
    6.33800000000573e-05 × 6371000     		dl = 403.793980000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84855090--0.84861428) × R
    6.33800000000573e-05 × 6371000     		dr = 403.793980000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30507043--0.30497456) × cos(-0.84855090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661071132992903 × 6371000     		do = 403.774163132099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30507043--0.30497456) × cos(-0.84861428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661023576178525 × 6371000     		du = 403.745116011497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84855090)-sin(-0.84861428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661071132992903-0.661023576178525)×R²
    abs(-0.30497456--0.30507043)×4.75568143779581e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75568143779581e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75568143779581e-05×40589641000000     		ar = 163035.711880872m²