Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29586 / 22734
↖ ↑ ↗
← N 48.173412°
W 17.479248°		 ← 407.32 m → N 48.173412°
W 17.473755°		 →
↑
407.36 m
↓
↑
407.36 m
↓
N 48.169749°
W 17.479248°		 ← 407.35 m →
165 933 m²		 N 48.169749°
W 17.473755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451454162597656 y=0.346900939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451454162597656 × 216)
    floor (0.451454162597656 × 65536)
    floor (29586.5)     		tx = 29586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346900939941406 × 216)
    floor (0.346900939941406 × 65536)
    floor (22734.5)     		ty = 22734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29586 / 22734 ti = "16/29586/22734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29586/22734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29586 ÷ 216
    29586 ÷ 65536     		x = 0.451446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22734 ÷ 216
    22734 ÷ 65536     		y = 0.346893310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.09710693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30507043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346893310546875 × 2 - 1) × π
    0.30621337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.961997701575287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30507043} λ = -0.30507043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961997701575287))-π/2
    2×atan(2.61691907844852)-π/2
    2×1.20579049329437-π/2
    2.41158098658874-1.57079632675     		φ = 0.84078466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30507043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.479248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84078466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.173412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29586 KachelY 22734 -0.30507043 0.84078466 -17.479248 48.173412
    Oben rechts KachelX + 1 29587 KachelY 22734 -0.30497456 0.84078466 -17.473755 48.173412
    Unten links KachelX 29586 KachelY + 1 22735 -0.30507043 0.84072072 -17.479248 48.169749
    Unten rechts KachelX + 1 29587 KachelY + 1 22735 -0.30497456 0.84072072 -17.473755 48.169749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84078466-0.84072072) × R
    6.39399999999846e-05 × 6371000     		dl = 407.361739999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84078466-0.84072072) × R
    6.39399999999846e-05 × 6371000     		dr = 407.361739999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30507043--0.30497456) × cos(0.84078466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666878328755227 × 6371000     		do = 407.321127281723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30507043--0.30497456) × cos(0.84072072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666925973345802 × 6371000     		du = 407.350228014953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84078466)-sin(0.84072072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666878328755227-0.666925973345802)×R²
    abs(-0.30497456--0.30507043)×4.76445905750467e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76445905750467e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76445905750467e-05×40589641000000     		ar = 165932.970467555m²