Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29585 / 19313
↖ ↑ ↗
← N 59.218123°
W 17.484741°		 ← 312.58 m → N 59.218123°
W 17.479248°		 →
↑
312.62 m
↓
↑
312.62 m
↓
N 59.215311°
W 17.484741°		 ← 312.61 m →
97 725 m²		 N 59.215311°
W 17.479248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451438903808594 y=0.294700622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451438903808594 × 216)
    floor (0.451438903808594 × 65536)
    floor (29585.5)     		tx = 29585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294700622558594 × 216)
    floor (0.294700622558594 × 65536)
    floor (19313.5)     		ty = 19313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29585 / 19313 ti = "16/29585/19313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29585/19313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29585 ÷ 216
    29585 ÷ 65536     		x = 0.451431274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19313 ÷ 216
    19313 ÷ 65536     		y = 0.294692993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451431274414062 × 2 - 1) × π
    -0.097137451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30516630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294692993164062 × 2 - 1) × π
    0.410614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28998196877571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30516630} λ = -0.30516630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28998196877571))-π/2
    2×atan(3.63272105275418)-π/2
    2×1.30217377454396-π/2
    2.60434754908792-1.57079632675     		φ = 1.03355122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30516630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.484741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03355122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.218123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29585 KachelY 19313 -0.30516630 1.03355122 -17.484741 59.218123
    Oben rechts KachelX + 1 29586 KachelY 19313 -0.30507043 1.03355122 -17.479248 59.218123
    Unten links KachelX 29585 KachelY + 1 19314 -0.30516630 1.03350215 -17.484741 59.215311
    Unten rechts KachelX + 1 29586 KachelY + 1 19314 -0.30507043 1.03350215 -17.479248 59.215311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03355122-1.03350215) × R
    4.90700000002064e-05 × 6371000     		dl = 312.624970001315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03355122-1.03350215) × R
    4.90700000002064e-05 × 6371000     		dr = 312.624970001315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30516630--0.30507043) × cos(1.03355122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.511771147823691 × 6371000     		do = 312.583558129566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30516630--0.30507043) × cos(1.03350215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.511813304314977 × 6371000     		du = 312.609306798869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03355122)-sin(1.03350215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511771147823691-0.511813304314977)×R²
    abs(-0.30507043--0.30516630)×4.21564912859163e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21564912859163e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21564912859163e-05×40589641000000     		ar = 97725.4503413354m²