Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29584 / 19410
↖ ↑ ↗
← N 58.944341°
W 17.490235°		 ← 315.12 m → N 58.944341°
W 17.484741°		 →
↑
315.11 m
↓
↑
315.11 m
↓
N 58.941507°
W 17.490235°		 ← 315.15 m →
99 302 m²		 N 58.941507°
W 17.484741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451423645019531 y=0.296180725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451423645019531 × 216)
    floor (0.451423645019531 × 65536)
    floor (29584.5)     		tx = 29584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296180725097656 × 216)
    floor (0.296180725097656 × 65536)
    floor (19410.5)     		ty = 19410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29584 / 19410 ti = "16/29584/19410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29584/19410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29584 ÷ 216
    29584 ÷ 65536     		x = 0.451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19410 ÷ 216
    19410 ÷ 65536     		y = 0.296173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.09716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30526218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296173095703125 × 2 - 1) × π
    0.40765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28068221024942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30526218} λ = -0.30526218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28068221024942))-π/2
    2×atan(3.59909422720143)-π/2
    2×1.29978457785923-π/2
    2.59956915571847-1.57079632675     		φ = 1.02877283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30526218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.490235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02877283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.944341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29584 KachelY 19410 -0.30526218 1.02877283 -17.490235 58.944341
    Oben rechts KachelX + 1 29585 KachelY 19410 -0.30516630 1.02877283 -17.484741 58.944341
    Unten links KachelX 29584 KachelY + 1 19411 -0.30526218 1.02872337 -17.490235 58.941507
    Unten rechts KachelX + 1 29585 KachelY + 1 19411 -0.30516630 1.02872337 -17.484741 58.941507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02877283-1.02872337) × R
    4.94600000000567e-05 × 6371000     		dl = 315.109660000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02877283-1.02872337) × R
    4.94600000000567e-05 × 6371000     		dr = 315.109660000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30526218--0.30516630) × cos(1.02877283) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.515870508661767 × 6371000     		do = 315.120263704369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30526218--0.30516630) × cos(1.02872337) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.515912878759494 × 6371000     		du = 315.146145541274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02877283)-sin(1.02872337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515870508661767-0.515912878759494)×R²
    abs(-0.30516630--0.30526218)×4.237009772734e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.237009772734e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.237009772734e-05×40589641000000     		ar = 99301.5169840823m²