Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29582 / 19426
↖ ↑ ↗
← N 58.898971°
W 17.501220°		 ← 315.50 m → N 58.898971°
W 17.495728°		 →
↑
315.49 m
↓
↑
315.49 m
↓
N 58.896134°
W 17.501220°		 ← 315.53 m →
99 542 m²		 N 58.896134°
W 17.495728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451393127441406 y=0.296424865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451393127441406 × 216)
    floor (0.451393127441406 × 65536)
    floor (29582.5)     		tx = 29582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296424865722656 × 216)
    floor (0.296424865722656 × 65536)
    floor (19426.5)     		ty = 19426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29582 / 19426 ti = "16/29582/19426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29582/19426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29582 ÷ 216
    29582 ÷ 65536     		x = 0.451385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19426 ÷ 216
    19426 ÷ 65536     		y = 0.296417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.09722900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30545392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296417236328125 × 2 - 1) × π
    0.40716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27914822946158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30545392} λ = -0.30545392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27914822946158))-π/2
    2×atan(3.5935775181479)-π/2
    2×1.29938865008585-π/2
    2.59877730017171-1.57079632675     		φ = 1.02798097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30545392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.501220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02798097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.898971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29582 KachelY 19426 -0.30545392 1.02798097 -17.501220 58.898971
    Oben rechts KachelX + 1 29583 KachelY 19426 -0.30535805 1.02798097 -17.495728 58.898971
    Unten links KachelX 29582 KachelY + 1 19427 -0.30545392 1.02793145 -17.501220 58.896134
    Unten rechts KachelX + 1 29583 KachelY + 1 19427 -0.30535805 1.02793145 -17.495728 58.896134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02798097-1.02793145) × R
    4.95199999999141e-05 × 6371000     		dl = 315.491919999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02798097-1.02793145) × R
    4.95199999999141e-05 × 6371000     		dr = 315.491919999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30545392--0.30535805) × cos(1.02798097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.516548706847534 × 6371000     		do = 315.501632751782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30545392--0.30535805) × cos(1.02793145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.516591108100812 × 6371000     		du = 315.527530918717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02798097)-sin(1.02793145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516548706847534-0.516591108100812)×R²
    abs(-0.30535805--0.30545392)×4.24012532777018e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.24012532777018e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.24012532777018e-05×40589641000000     		ar = 99542.3012310512m²