Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29582 / 19346
↖ ↑ ↗
← N 59.125226°
W 17.501220°		 ← 313.43 m → N 59.125226°
W 17.495728°		 →
↑
313.45 m
↓
↑
313.45 m
↓
N 59.122407°
W 17.501220°		 ← 313.46 m →
98 251 m²		 N 59.122407°
W 17.495728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451393127441406 y=0.295204162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451393127441406 × 216)
    floor (0.451393127441406 × 65536)
    floor (29582.5)     		tx = 29582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295204162597656 × 216)
    floor (0.295204162597656 × 65536)
    floor (19346.5)     		ty = 19346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29582 / 19346 ti = "16/29582/19346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29582/19346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29582 ÷ 216
    29582 ÷ 65536     		x = 0.451385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19346 ÷ 216
    19346 ÷ 65536     		y = 0.295196533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.09722900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30545392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295196533203125 × 2 - 1) × π
    0.40960693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28681813340079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30545392} λ = -0.30545392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28681813340079))-π/2
    2×atan(3.62124588372516)-π/2
    2×1.30136309380623-π/2
    2.60272618761246-1.57079632675     		φ = 1.03192986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30545392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.501220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03192986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.125226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29582 KachelY 19346 -0.30545392 1.03192986 -17.501220 59.125226
    Oben rechts KachelX + 1 29583 KachelY 19346 -0.30535805 1.03192986 -17.495728 59.125226
    Unten links KachelX 29582 KachelY + 1 19347 -0.30545392 1.03188066 -17.501220 59.122407
    Unten rechts KachelX + 1 29583 KachelY + 1 19347 -0.30535805 1.03188066 -17.495728 59.122407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03192986-1.03188066) × R
    4.92000000000825e-05 × 6371000     		dl = 313.453200000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03192986-1.03188066) × R
    4.92000000000825e-05 × 6371000     		dr = 313.453200000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30545392--0.30535805) × cos(1.03192986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.51316342028469 × 6371000     		do = 313.433941121252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30545392--0.30535805) × cos(1.03188066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.513205647576866 × 6371000     		du = 313.459733034873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03192986)-sin(1.03188066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51316342028469-0.513205647576866)×R²
    abs(-0.30535805--0.30545392)×4.22272921759559e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22272921759559e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22272921759559e-05×40589641000000     		ar = 98250.914131852m²