Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29582 / 19312
↖ ↑ ↗
← N 59.220934°
W 17.501220°		 ← 312.56 m → N 59.220934°
W 17.495728°		 →
↑
312.62 m
↓
↑
312.62 m
↓
N 59.218123°
W 17.501220°		 ← 312.58 m →
97 717 m²		 N 59.218123°
W 17.495728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451393127441406 y=0.294685363769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451393127441406 × 216)
    floor (0.451393127441406 × 65536)
    floor (29582.5)     		tx = 29582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294685363769531 × 216)
    floor (0.294685363769531 × 65536)
    floor (19312.5)     		ty = 19312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29582 / 19312 ti = "16/29582/19312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29582/19312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29582 ÷ 216
    29582 ÷ 65536     		x = 0.451385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19312 ÷ 216
    19312 ÷ 65536     		y = 0.294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.09722900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30545392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294677734375 × 2 - 1) × π
    0.41064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29007784257495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30545392} λ = -0.30545392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29007784257495))-π/2
    2×atan(3.63306935221922)-π/2
    2×1.30219830625568-π/2
    2.60439661251136-1.57079632675     		φ = 1.03360029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30545392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.501220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03360029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.220934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29582 KachelY 19312 -0.30545392 1.03360029 -17.501220 59.220934
    Oben rechts KachelX + 1 29583 KachelY 19312 -0.30535805 1.03360029 -17.495728 59.220934
    Unten links KachelX 29582 KachelY + 1 19313 -0.30545392 1.03355122 -17.501220 59.218123
    Unten rechts KachelX + 1 29583 KachelY + 1 19313 -0.30535805 1.03355122 -17.495728 59.218123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03360029-1.03355122) × R
    4.90699999999844e-05 × 6371000     		dl = 312.624969999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03360029-1.03355122) × R
    4.90699999999844e-05 × 6371000     		dr = 312.624969999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30545392--0.30535805) × cos(1.03360029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.511728990100129 × 6371000     		do = 312.557808707603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30545392--0.30535805) × cos(1.03355122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.511771147823691 × 6371000     		du = 312.583558129566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03360029)-sin(1.03355122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511728990100129-0.511771147823691)×R²
    abs(-0.30535805--0.30545392)×4.21577235614201e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21577235614201e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21577235614201e-05×40589641000000     		ar = 97717.4005458893m²