Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29581 / 42705
↖ ↑ ↗
← S 47.816843°
W 17.506714°		 ← 410.19 m → S 47.816843°
W 17.501220°		 →
↑
410.16 m
↓
↑
410.16 m
↓
S 47.820532°
W 17.506714°		 ← 410.16 m →
168 239 m²		 S 47.820532°
W 17.501220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451377868652344 y=0.651634216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451377868652344 × 216)
    floor (0.451377868652344 × 65536)
    floor (29581.5)     		tx = 29581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651634216308594 × 216)
    floor (0.651634216308594 × 65536)
    floor (42705.5)     		ty = 42705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29581 / 42705 ti = "16/29581/42705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29581/42705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29581 ÷ 216
    29581 ÷ 65536     		x = 0.451370239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42705 ÷ 216
    42705 ÷ 65536     		y = 0.651626586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451370239257812 × 2 - 1) × π
    -0.097259521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30554980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651626586914062 × 2 - 1) × π
    -0.303253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.952697943048996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30554980} λ = -0.30554980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952697943048996))-π/2
    2×atan(0.385699024457536)-π/2
    2×0.368117486453738-π/2
    0.736234972907476-1.57079632675     		φ = -0.83456135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30554980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.506714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83456135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.816843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29581 KachelY 42705 -0.30554980 -0.83456135 -17.506714 -47.816843
    Oben rechts KachelX + 1 29582 KachelY 42705 -0.30545392 -0.83456135 -17.501220 -47.816843
    Unten links KachelX 29581 KachelY + 1 42706 -0.30554980 -0.83462573 -17.506714 -47.820532
    Unten rechts KachelX + 1 29582 KachelY + 1 42706 -0.30545392 -0.83462573 -17.501220 -47.820532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83456135--0.83462573) × R
    6.4379999999975e-05 × 6371000     		dl = 410.164979999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83456135--0.83462573) × R
    6.4379999999975e-05 × 6371000     		dr = 410.164979999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30554980--0.30545392) × cos(-0.83456135) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.671502787792353 × 6371000     		do = 410.188471747053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30554980--0.30545392) × cos(-0.83462573) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.671455080690185 × 6371000     		du = 410.159329793087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83456135)-sin(-0.83462573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671502787792353-0.671455080690185)×R²
    abs(-0.30545392--0.30554980)×4.77071021679487e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77071021679487e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77071021679487e-05×40589641000000     		ar = 168238.969863805m²