Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29581 / 16777
↖ ↑ ↗
← N 65.637889°
W 17.506714°		 ← 251.98 m → N 65.637889°
W 17.501220°		 →
↑
251.97 m
↓
↑
251.97 m
↓
N 65.635623°
W 17.506714°		 ← 252 m →
63 494 m²		 N 65.635623°
W 17.501220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451377868652344 y=0.256004333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451377868652344 × 216)
    floor (0.451377868652344 × 65536)
    floor (29581.5)     		tx = 29581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256004333496094 × 216)
    floor (0.256004333496094 × 65536)
    floor (16777.5)     		ty = 16777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29581 / 16777 ti = "16/29581/16777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29581/16777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29581 ÷ 216
    29581 ÷ 65536     		x = 0.451370239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16777 ÷ 216
    16777 ÷ 65536     		y = 0.255996704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451370239257812 × 2 - 1) × π
    -0.097259521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30554980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255996704101562 × 2 - 1) × π
    0.488006591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.53311792364864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30554980} λ = -0.30554980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53311792364864))-π/2
    2×atan(4.6325984160585)-π/2
    2×1.35819680244004-π/2
    2.71639360488008-1.57079632675     		φ = 1.14559728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30554980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.506714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14559728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.637889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29581 KachelY 16777 -0.30554980 1.14559728 -17.506714 65.637889
    Oben rechts KachelX + 1 29582 KachelY 16777 -0.30545392 1.14559728 -17.501220 65.637889
    Unten links KachelX 29581 KachelY + 1 16778 -0.30554980 1.14555773 -17.506714 65.635623
    Unten rechts KachelX + 1 29582 KachelY + 1 16778 -0.30545392 1.14555773 -17.501220 65.635623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14559728-1.14555773) × R
    3.95500000001103e-05 × 6371000     		dl = 251.973050000703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14559728-1.14555773) × R
    3.95500000001103e-05 × 6371000     		dr = 251.973050000703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30554980--0.30545392) × cos(1.14559728) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.412502112914051 × 6371000     		do = 251.977526176656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30554980--0.30545392) × cos(1.14555773) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.412538140926684 × 6371000     		du = 251.999533941494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14559728)-sin(1.14555773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412502112914051-0.412538140926684)×R²
    abs(-0.30545392--0.30554980)×3.60280126336376e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.60280126336376e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.60280126336376e-05×40589641000000     		ar = 63494.318492808m²