Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29580 / 42812
↖ ↑ ↗
← S 48.210032°
W 17.512207°		 ← 407.03 m → S 48.210032°
W 17.506714°		 →
↑
407.04 m
↓
↑
407.04 m
↓
S 48.213693°
W 17.512207°		 ← 407 m →
165 673 m²		 S 48.213693°
W 17.506714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451362609863281 y=0.653266906738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451362609863281 × 216)
    floor (0.451362609863281 × 65536)
    floor (29580.5)     		tx = 29580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653266906738281 × 216)
    floor (0.653266906738281 × 65536)
    floor (42812.5)     		ty = 42812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29580 / 42812 ti = "16/29580/42812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29580/42812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29580 ÷ 216
    29580 ÷ 65536     		x = 0.45135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42812 ÷ 216
    42812 ÷ 65536     		y = 0.65325927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30564567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65325927734375 × 2 - 1) × π
    -0.3065185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.962956439567688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30564567} λ = -0.30564567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.962956439567688))-π/2
    2×atan(0.38176255799332)-π/2
    2×0.364686266893084-π/2
    0.729372533786168-1.57079632675     		φ = -0.84142379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30564567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.512207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84142379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.210032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29580 KachelY 42812 -0.30564567 -0.84142379 -17.512207 -48.210032
    Oben rechts KachelX + 1 29581 KachelY 42812 -0.30554980 -0.84142379 -17.506714 -48.210032
    Unten links KachelX 29580 KachelY + 1 42813 -0.30564567 -0.84148768 -17.512207 -48.213693
    Unten rechts KachelX + 1 29581 KachelY + 1 42813 -0.30554980 -0.84148768 -17.506714 -48.213693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84142379--0.84148768) × R
    6.38899999999554e-05 × 6371000     		dl = 407.043189999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84142379--0.84148768) × R
    6.38899999999554e-05 × 6371000     		dr = 407.043189999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30564567--0.30554980) × cos(-0.84142379) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.66640193423888 × 6371000     		do = 407.030151337443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30564567--0.30554980) × cos(-0.84148768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666354296961731 × 6371000     		du = 407.001055071165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84142379)-sin(-0.84148768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66640193423888-0.666354296961731)×R²
    abs(-0.30554980--0.30564567)×4.76372771494038e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76372771494038e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76372771494038e-05×40589641000000     		ar = 165672.92956456m²