Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29580 / 41299
↖ ↑ ↗
← S 42.370720°
W 17.512207°		 ← 451.25 m → S 42.370720°
W 17.506714°		 →
↑
451.26 m
↓
↑
451.26 m
↓
S 42.374778°
W 17.512207°		 ← 451.22 m →
203 624 m²		 S 42.374778°
W 17.506714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451362609863281 y=0.630180358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451362609863281 × 216)
    floor (0.451362609863281 × 65536)
    floor (29580.5)     		tx = 29580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630180358886719 × 216)
    floor (0.630180358886719 × 65536)
    floor (41299.5)     		ty = 41299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29580 / 41299 ti = "16/29580/41299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29580/41299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29580 ÷ 216
    29580 ÷ 65536     		x = 0.45135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41299 ÷ 216
    41299 ÷ 65536     		y = 0.630172729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30564567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630172729492188 × 2 - 1) × π
    -0.260345458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.817899381317398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30564567} λ = -0.30564567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817899381317398))-π/2
    2×atan(0.441357805872735)-π/2
    2×0.415643876933225-π/2
    0.831287753866451-1.57079632675     		φ = -0.73950857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30564567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.512207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73950857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.370720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29580 KachelY 41299 -0.30564567 -0.73950857 -17.512207 -42.370720
    Oben rechts KachelX + 1 29581 KachelY 41299 -0.30554980 -0.73950857 -17.506714 -42.370720
    Unten links KachelX 29580 KachelY + 1 41300 -0.30564567 -0.73957940 -17.512207 -42.374778
    Unten rechts KachelX + 1 29581 KachelY + 1 41300 -0.30554980 -0.73957940 -17.506714 -42.374778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73950857--0.73957940) × R
    7.08299999999662e-05 × 6371000     		dl = 451.257929999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73950857--0.73957940) × R
    7.08299999999662e-05 × 6371000     		dr = 451.257929999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30564567--0.30554980) × cos(-0.73950857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.738799834853313 × 6371000     		do = 451.249903606414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30564567--0.30554980) × cos(-0.73957940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.738752098897704 × 6371000     		du = 451.220747068538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73950857)-sin(-0.73957940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738799834853313-0.738752098897704)×R²
    abs(-0.30554980--0.30564567)×4.77359556090295e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77359556090295e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77359556090295e-05×40589641000000     		ar = 203623.518939744m²