Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29580 / 19324
↖ ↑ ↗
← N 59.187185°
W 17.512207°		 ← 312.87 m → N 59.187185°
W 17.506714°		 →
↑
312.88 m
↓
↑
312.88 m
↓
N 59.184372°
W 17.512207°		 ← 312.89 m →
97 894 m²		 N 59.184372°
W 17.506714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451362609863281 y=0.294868469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451362609863281 × 216)
    floor (0.451362609863281 × 65536)
    floor (29580.5)     		tx = 29580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294868469238281 × 216)
    floor (0.294868469238281 × 65536)
    floor (19324.5)     		ty = 19324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29580 / 19324 ti = "16/29580/19324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29580/19324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29580 ÷ 216
    29580 ÷ 65536     		x = 0.45135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19324 ÷ 216
    19324 ÷ 65536     		y = 0.29486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30564567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29486083984375 × 2 - 1) × π
    0.4102783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28892735698407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30564567} λ = -0.30564567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28892735698407))-π/2
    2×atan(3.62889196175336)-π/2
    2×1.30190379232568-π/2
    2.60380758465135-1.57079632675     		φ = 1.03301126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30564567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.512207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03301126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.187185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29580 KachelY 19324 -0.30564567 1.03301126 -17.512207 59.187185
    Oben rechts KachelX + 1 29581 KachelY 19324 -0.30554980 1.03301126 -17.506714 59.187185
    Unten links KachelX 29580 KachelY + 1 19325 -0.30564567 1.03296215 -17.512207 59.184372
    Unten rechts KachelX + 1 29581 KachelY + 1 19325 -0.30554980 1.03296215 -17.506714 59.184372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03301126-1.03296215) × R
    4.91100000001854e-05 × 6371000     		dl = 312.879810001181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03301126-1.03296215) × R
    4.91100000001854e-05 × 6371000     		dr = 312.879810001181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30564567--0.30554980) × cos(1.03301126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.512234964610962 × 6371000     		do = 312.866851750752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30564567--0.30554980) × cos(1.03296215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.512277141888548 × 6371000     		du = 312.892613116073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03301126)-sin(1.03296215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512234964610962-0.512277141888548)×R²
    abs(-0.30554980--0.30564567)×4.21772775858198e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21772775858198e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21772775858198e-05×40589641000000     		ar = 97893.7512569922m²