Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29580 / 16781
↖ ↑ ↗
← N 65.628824°
W 17.512207°		 ← 252.04 m → N 65.628824°
W 17.506714°		 →
↑
252.10 m
↓
↑
252.10 m
↓
N 65.626557°
W 17.512207°		 ← 252.06 m →
63 542 m²		 N 65.626557°
W 17.506714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451362609863281 y=0.256065368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451362609863281 × 216)
    floor (0.451362609863281 × 65536)
    floor (29580.5)     		tx = 29580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256065368652344 × 216)
    floor (0.256065368652344 × 65536)
    floor (16781.5)     		ty = 16781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29580 / 16781 ti = "16/29580/16781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29580/16781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29580 ÷ 216
    29580 ÷ 65536     		x = 0.45135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16781 ÷ 216
    16781 ÷ 65536     		y = 0.256057739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30564567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256057739257812 × 2 - 1) × π
    0.487884521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.53273442845168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30564567} λ = -0.30564567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53273442845168))-π/2
    2×atan(4.63082217742775)-π/2
    2×1.35811769233286-π/2
    2.71623538466572-1.57079632675     		φ = 1.14543906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30564567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.512207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14543906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.628824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29580 KachelY 16781 -0.30564567 1.14543906 -17.512207 65.628824
    Oben rechts KachelX + 1 29581 KachelY 16781 -0.30554980 1.14543906 -17.506714 65.628824
    Unten links KachelX 29580 KachelY + 1 16782 -0.30564567 1.14539949 -17.512207 65.626557
    Unten rechts KachelX + 1 29581 KachelY + 1 16782 -0.30554980 1.14539949 -17.506714 65.626557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14543906-1.14539949) × R
    3.95699999999888e-05 × 6371000     		dl = 252.100469999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14543906-1.14539949) × R
    3.95699999999888e-05 × 6371000     		dr = 252.100469999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30564567--0.30554980) × cos(1.14543906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412646239310428 × 6371000     		do = 252.039276307297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30564567--0.30554980) × cos(1.14539949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412682282958725 × 6371000     		du = 252.061291326863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14543906)-sin(1.14539949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412646239310428-0.412682282958725)×R²
    abs(-0.30554980--0.30564567)×3.60436482970683e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60436482970683e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60436482970683e-05×40589641000000     		ar = 63541.9950225236m²