Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29579 / 42885
↖ ↑ ↗
← S 48.476563°
W 17.517700°		 ← 404.95 m → S 48.476563°
W 17.512207°		 →
↑
404.94 m
↓
↑
404.94 m
↓
S 48.480204°
W 17.517700°		 ← 404.92 m →
163 975 m²		 S 48.480204°
W 17.512207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451347351074219 y=0.654380798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451347351074219 × 216)
    floor (0.451347351074219 × 65536)
    floor (29579.5)     		tx = 29579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654380798339844 × 216)
    floor (0.654380798339844 × 65536)
    floor (42885.5)     		ty = 42885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29579 / 42885 ti = "16/29579/42885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29579/42885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29579 ÷ 216
    29579 ÷ 65536     		x = 0.451339721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42885 ÷ 216
    42885 ÷ 65536     		y = 0.654373168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451339721679688 × 2 - 1) × π
    -0.097320556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30574155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654373168945312 × 2 - 1) × π
    -0.308746337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.969955226912216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30574155} λ = -0.30574155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969955226912216))-π/2
    2×atan(0.379100011201507)-π/2
    2×0.362360346499485-π/2
    0.72472069299897-1.57079632675     		φ = -0.84607563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30574155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.517700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84607563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.476563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29579 KachelY 42885 -0.30574155 -0.84607563 -17.517700 -48.476563
    Oben rechts KachelX + 1 29580 KachelY 42885 -0.30564567 -0.84607563 -17.512207 -48.476563
    Unten links KachelX 29579 KachelY + 1 42886 -0.30574155 -0.84613919 -17.517700 -48.480204
    Unten rechts KachelX + 1 29580 KachelY + 1 42886 -0.30564567 -0.84613919 -17.512207 -48.480204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84607563--0.84613919) × R
    6.35600000000736e-05 × 6371000     		dl = 404.940760000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84607563--0.84613919) × R
    6.35600000000736e-05 × 6371000     		dr = 404.940760000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30574155--0.30564567) × cos(-0.84607563) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.662926358512804 × 6371000     		do = 404.949547228526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30574155--0.30564567) × cos(-0.84613919) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.662878770780042 × 6371000     		du = 404.920478191539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84607563)-sin(-0.84613919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662926358512804-0.662878770780042)×R²
    abs(-0.30564567--0.30574155)×4.75877327614782e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75877327614782e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75877327614782e-05×40589641000000     		ar = 163974.691852717m²