Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29579 / 42713
↖ ↑ ↗
← S 47.846344°
W 17.517700°		 ← 409.96 m → S 47.846344°
W 17.512207°		 →
↑
409.91 m
↓
↑
409.91 m
↓
S 47.850031°
W 17.517700°		 ← 409.93 m →
168 039 m²		 S 47.850031°
W 17.512207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451347351074219 y=0.651756286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451347351074219 × 216)
    floor (0.451347351074219 × 65536)
    floor (29579.5)     		tx = 29579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651756286621094 × 216)
    floor (0.651756286621094 × 65536)
    floor (42713.5)     		ty = 42713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29579 / 42713 ti = "16/29579/42713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29579/42713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29579 ÷ 216
    29579 ÷ 65536     		x = 0.451339721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42713 ÷ 216
    42713 ÷ 65536     		y = 0.651748657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451339721679688 × 2 - 1) × π
    -0.097320556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30574155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651748657226562 × 2 - 1) × π
    -0.303497314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.953464933442917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30574155} λ = -0.30574155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953464933442917))-π/2
    2×atan(0.385403310430238)-π/2
    2×0.367860041537596-π/2
    0.735720083075192-1.57079632675     		φ = -0.83507624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30574155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.517700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83507624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.846344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29579 KachelY 42713 -0.30574155 -0.83507624 -17.517700 -47.846344
    Oben rechts KachelX + 1 29580 KachelY 42713 -0.30564567 -0.83507624 -17.512207 -47.846344
    Unten links KachelX 29579 KachelY + 1 42714 -0.30574155 -0.83514058 -17.517700 -47.850031
    Unten rechts KachelX + 1 29580 KachelY + 1 42714 -0.30564567 -0.83514058 -17.512207 -47.850031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83507624--0.83514058) × R
    6.43399999999961e-05 × 6371000     		dl = 409.910139999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83507624--0.83514058) × R
    6.43399999999961e-05 × 6371000     		dr = 409.910139999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30574155--0.30564567) × cos(-0.83507624) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.67112116426322 × 6371000     		do = 409.95535644948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30574155--0.30564567) × cos(-0.83514058) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.671073464564413 × 6371000     		du = 409.926219017868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83507624)-sin(-0.83514058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67112116426322-0.671073464564413)×R²
    abs(-0.30564567--0.30574155)×4.76996988070244e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76996988070244e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76996988070244e-05×40589641000000     		ar = 168038.885749483m²