Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29579 / 40843
↖ ↑ ↗
← S 40.492915°
W 17.517700°		 ← 464.54 m → S 40.492915°
W 17.512207°		 →
↑
464.51 m
↓
↑
464.51 m
↓
S 40.497092°
W 17.517700°		 ← 464.52 m →
215 779 m²		 S 40.497092°
W 17.512207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451347351074219 y=0.623222351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451347351074219 × 216)
    floor (0.451347351074219 × 65536)
    floor (29579.5)     		tx = 29579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623222351074219 × 216)
    floor (0.623222351074219 × 65536)
    floor (40843.5)     		ty = 40843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29579 / 40843 ti = "16/29579/40843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29579/40843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29579 ÷ 216
    29579 ÷ 65536     		x = 0.451339721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40843 ÷ 216
    40843 ÷ 65536     		y = 0.623214721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451339721679688 × 2 - 1) × π
    -0.097320556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30574155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623214721679688 × 2 - 1) × π
    -0.246429443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.774180928863907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30574155} λ = -0.30574155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774180928863907))-π/2
    2×atan(0.461081284748379)-π/2
    2×0.432030817931052-π/2
    0.864061635862105-1.57079632675     		φ = -0.70673469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30574155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.517700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70673469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.492915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29579 KachelY 40843 -0.30574155 -0.70673469 -17.517700 -40.492915
    Oben rechts KachelX + 1 29580 KachelY 40843 -0.30564567 -0.70673469 -17.512207 -40.492915
    Unten links KachelX 29579 KachelY + 1 40844 -0.30574155 -0.70680760 -17.517700 -40.497092
    Unten rechts KachelX + 1 29580 KachelY + 1 40844 -0.30564567 -0.70680760 -17.512207 -40.497092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70673469--0.70680760) × R
    7.29099999999816e-05 × 6371000     		dl = 464.509609999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70673469--0.70680760) × R
    7.29099999999816e-05 × 6371000     		dr = 464.509609999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30574155--0.30564567) × cos(-0.70673469) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.760486268620904 × 6371000     		do = 464.544162706721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30574155--0.30564567) × cos(-0.70680760) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.760438922198478 × 6371000     		du = 464.515241074509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70673469)-sin(-0.70680760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760486268620904-0.760438922198478)×R²
    abs(-0.30564567--0.30574155)×4.73464224265419e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73464224265419e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73464224265419e-05×40589641000000     		ar = 215778.510754053m²