Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29579 / 22423
↖ ↑ ↗
← N 49.300054°
W 17.517700°		 ← 398.33 m → N 49.300054°
W 17.512207°		 →
↑
398.31 m
↓
↑
398.31 m
↓
N 49.296472°
W 17.517700°		 ← 398.36 m →
158 668 m²		 N 49.296472°
W 17.512207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451347351074219 y=0.342155456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451347351074219 × 216)
    floor (0.451347351074219 × 65536)
    floor (29579.5)     		tx = 29579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342155456542969 × 216)
    floor (0.342155456542969 × 65536)
    floor (22423.5)     		ty = 22423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29579 / 22423 ti = "16/29579/22423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29579/22423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29579 ÷ 216
    29579 ÷ 65536     		x = 0.451339721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22423 ÷ 216
    22423 ÷ 65536     		y = 0.342147827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451339721679688 × 2 - 1) × π
    -0.097320556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30574155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342147827148438 × 2 - 1) × π
    0.315704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.991814453138962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30574155} λ = -0.30574155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991814453138962))-π/2
    2×atan(2.69612202396106)-π/2
    2×1.215622293607-π/2
    2.43124458721399-1.57079632675     		φ = 0.86044826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30574155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.517700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86044826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.300054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29579 KachelY 22423 -0.30574155 0.86044826 -17.517700 49.300054
    Oben rechts KachelX + 1 29580 KachelY 22423 -0.30564567 0.86044826 -17.512207 49.300054
    Unten links KachelX 29579 KachelY + 1 22424 -0.30574155 0.86038574 -17.517700 49.296472
    Unten rechts KachelX + 1 29580 KachelY + 1 22424 -0.30564567 0.86038574 -17.512207 49.296472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86044826-0.86038574) × R
    6.25199999999548e-05 × 6371000     		dl = 398.314919999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86044826-0.86038574) × R
    6.25199999999548e-05 × 6371000     		dr = 398.314919999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30574155--0.30564567) × cos(0.86044826) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652097692118763 × 6371000     		do = 398.3348403353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30574155--0.30564567) × cos(0.86038574) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652145089441261 × 6371000     		du = 398.363793059896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86044826)-sin(0.86038574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652097692118763-0.652145089441261)×R²
    abs(-0.30564567--0.30574155)×4.73973224973667e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73973224973667e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73973224973667e-05×40589641000000     		ar = 158668.476263983m²