Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29579 / 16778
↖ ↑ ↗
← N 65.635623°
W 17.517700°		 ← 252 m → N 65.635623°
W 17.512207°		 →
↑
252.04 m
↓
↑
252.04 m
↓
N 65.633356°
W 17.517700°		 ← 252.02 m →
63 516 m²		 N 65.633356°
W 17.512207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451347351074219 y=0.256019592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451347351074219 × 216)
    floor (0.451347351074219 × 65536)
    floor (29579.5)     		tx = 29579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256019592285156 × 216)
    floor (0.256019592285156 × 65536)
    floor (16778.5)     		ty = 16778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29579 / 16778 ti = "16/29579/16778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29579/16778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29579 ÷ 216
    29579 ÷ 65536     		x = 0.451339721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16778 ÷ 216
    16778 ÷ 65536     		y = 0.256011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451339721679688 × 2 - 1) × π
    -0.097320556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30574155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256011962890625 × 2 - 1) × π
    0.48797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5330220498494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30574155} λ = -0.30574155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5330220498494))-π/2
    2×atan(4.63215429253824)-π/2
    2×1.35817702750405-π/2
    2.71635405500811-1.57079632675     		φ = 1.14555773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30574155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.517700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14555773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.635623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29579 KachelY 16778 -0.30574155 1.14555773 -17.517700 65.635623
    Oben rechts KachelX + 1 29580 KachelY 16778 -0.30564567 1.14555773 -17.512207 65.635623
    Unten links KachelX 29579 KachelY + 1 16779 -0.30574155 1.14551817 -17.517700 65.633356
    Unten rechts KachelX + 1 29580 KachelY + 1 16779 -0.30564567 1.14551817 -17.512207 65.633356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14555773-1.14551817) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dl = 252.036760000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14555773-1.14551817) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dr = 252.036760000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30574155--0.30564567) × cos(1.14555773) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.412538140926684 × 6371000     		do = 251.999533941494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30574155--0.30564567) × cos(1.14551817) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.412574177403265 × 6371000     		du = 252.021546876548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14555773)-sin(1.14551817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412538140926684-0.412574177403265)×R²
    abs(-0.30564567--0.30574155)×3.60364765805143e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.60364765805143e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.60364765805143e-05×40589641000000     		ar = 63515.9200988085m²