Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29578 / 41304
↖ ↑ ↗
← S 42.391008°
W 17.523193°		 ← 451.10 m → S 42.391008°
W 17.517700°		 →
↑
451.13 m
↓
↑
451.13 m
↓
S 42.395066°
W 17.523193°		 ← 451.07 m →
203 500 m²		 S 42.395066°
W 17.517700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451332092285156 y=0.630256652832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451332092285156 × 216)
    floor (0.451332092285156 × 65536)
    floor (29578.5)     		tx = 29578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630256652832031 × 216)
    floor (0.630256652832031 × 65536)
    floor (41304.5)     		ty = 41304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29578 / 41304 ti = "16/29578/41304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29578/41304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29578 ÷ 216
    29578 ÷ 65536     		x = 0.451324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41304 ÷ 216
    41304 ÷ 65536     		y = 0.6302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.09735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30583742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.260498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.818378750313599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30583742} λ = -0.30583742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818378750313599))-π/2
    2×atan(0.441146283327094)-π/2
    2×0.415466826670141-π/2
    0.830933653340282-1.57079632675     		φ = -0.73986267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30583742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.523193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73986267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.391008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29578 KachelY 41304 -0.30583742 -0.73986267 -17.523193 -42.391008
    Oben rechts KachelX + 1 29579 KachelY 41304 -0.30574155 -0.73986267 -17.517700 -42.391008
    Unten links KachelX 29578 KachelY + 1 41305 -0.30583742 -0.73993348 -17.523193 -42.395066
    Unten rechts KachelX + 1 29579 KachelY + 1 41305 -0.30574155 -0.73993348 -17.517700 -42.395066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73986267--0.73993348) × R
    7.08100000000877e-05 × 6371000     		dl = 451.130510000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73986267--0.73993348) × R
    7.08100000000877e-05 × 6371000     		dr = 451.130510000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30583742--0.30574155) × cos(-0.73986267) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.738561151724616 × 6371000     		do = 451.104118870761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30583742--0.30574155) × cos(-0.73993348) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.738513410727608 × 6371000     		du = 451.074959253661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73986267)-sin(-0.73993348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738561151724616-0.738513410727608)×R²
    abs(-0.30574155--0.30583742)×4.77409970085496e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.77409970085496e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.77409970085496e-05×40589641000000     		ar = 203500.253897988m²