Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29578 / 19323
↖ ↑ ↗
← N 59.189999°
W 17.523193°		 ← 312.84 m → N 59.189999°
W 17.517700°		 →
↑
312.88 m
↓
↑
312.88 m
↓
N 59.187185°
W 17.523193°		 ← 312.87 m →
97 886 m²		 N 59.187185°
W 17.517700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451332092285156 y=0.294853210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451332092285156 × 216)
    floor (0.451332092285156 × 65536)
    floor (29578.5)     		tx = 29578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294853210449219 × 216)
    floor (0.294853210449219 × 65536)
    floor (19323.5)     		ty = 19323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29578 / 19323 ti = "16/29578/19323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29578/19323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29578 ÷ 216
    29578 ÷ 65536     		x = 0.451324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19323 ÷ 216
    19323 ÷ 65536     		y = 0.294845581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.09735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30583742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294845581054688 × 2 - 1) × π
    0.410308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28902323078331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30583742} λ = -0.30583742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28902323078331))-π/2
    2×atan(3.62923989409129)-π/2
    2×1.30192834627093-π/2
    2.60385669254185-1.57079632675     		φ = 1.03306037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30583742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.523193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03306037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.189999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29578 KachelY 19323 -0.30583742 1.03306037 -17.523193 59.189999
    Oben rechts KachelX + 1 29579 KachelY 19323 -0.30574155 1.03306037 -17.517700 59.189999
    Unten links KachelX 29578 KachelY + 1 19324 -0.30583742 1.03301126 -17.523193 59.187185
    Unten rechts KachelX + 1 29579 KachelY + 1 19324 -0.30574155 1.03301126 -17.517700 59.187185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03306037-1.03301126) × R
    4.91099999999633e-05 × 6371000     		dl = 312.879809999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03306037-1.03301126) × R
    4.91099999999633e-05 × 6371000     		dr = 312.879809999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30583742--0.30574155) × cos(1.03306037) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.512192786097972 × 6371000     		do = 312.841089631042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30583742--0.30574155) × cos(1.03301126) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.512234964610962 × 6371000     		du = 312.866851750933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03306037)-sin(1.03301126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512192786097972-0.512234964610962)×R²
    abs(-0.30574155--0.30583742)×4.21785129898211e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.21785129898211e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.21785129898211e-05×40589641000000     		ar = 97885.6909271225m²