Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29577 / 40903
↖ ↑ ↗
← S 40.743095°
W 17.528686°		 ← 462.76 m → S 40.743095°
W 17.523193°		 →
↑
462.79 m
↓
↑
462.79 m
↓
S 40.747257°
W 17.528686°		 ← 462.73 m →
214 153 m²		 S 40.747257°
W 17.523193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451316833496094 y=0.624137878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451316833496094 × 216)
    floor (0.451316833496094 × 65536)
    floor (29577.5)     		tx = 29577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624137878417969 × 216)
    floor (0.624137878417969 × 65536)
    floor (40903.5)     		ty = 40903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29577 / 40903 ti = "16/29577/40903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29577/40903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29577 ÷ 216
    29577 ÷ 65536     		x = 0.451309204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40903 ÷ 216
    40903 ÷ 65536     		y = 0.624130249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451309204101562 × 2 - 1) × π
    -0.097381591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30593329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624130249023438 × 2 - 1) × π
    -0.248260498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.779933356818314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30593329} λ = -0.30593329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779933356818314))-π/2
    2×atan(0.458436561958306)-π/2
    2×0.429847583778305-π/2
    0.859695167556609-1.57079632675     		φ = -0.71110116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30593329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.528686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71110116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.743095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29577 KachelY 40903 -0.30593329 -0.71110116 -17.528686 -40.743095
    Oben rechts KachelX + 1 29578 KachelY 40903 -0.30583742 -0.71110116 -17.523193 -40.743095
    Unten links KachelX 29577 KachelY + 1 40904 -0.30593329 -0.71117380 -17.528686 -40.747257
    Unten rechts KachelX + 1 29578 KachelY + 1 40904 -0.30583742 -0.71117380 -17.523193 -40.747257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71110116--0.71117380) × R
    7.26399999999572e-05 × 6371000     		dl = 462.789439999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71110116--0.71117380) × R
    7.26399999999572e-05 × 6371000     		dr = 462.789439999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30593329--0.30583742) × cos(-0.71110116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.757643643083198 × 6371000     		do = 462.759471213452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30593329--0.30583742) × cos(-0.71117380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.757596231247903 × 6371000     		du = 462.730512644301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71110116)-sin(-0.71117380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757643643083198-0.757596231247903)×R²
    abs(-0.30583742--0.30593329)×4.7411835294775e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7411835294775e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7411835294775e-05×40589641000000     		ar = 214153.495771653m²