Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29577 / 30009
↖ ↑ ↗
← S 81.610138°
E144.942627°		 ← 178.24 m → S 81.610138°
E144.953613°		 →
↑
178.26 m
↓
↑
178.26 m
↓
S 81.611741°
E144.942627°		 ← 178.20 m →
31 770 m²		 S 81.611741°
E144.953613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.902633666992188 y=0.915817260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.902633666992188 × 215)
    floor (0.902633666992188 × 32768)
    floor (29577.5)     		tx = 29577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915817260742188 × 215)
    floor (0.915817260742188 × 32768)
    floor (30009.5)     		ty = 30009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29577 / 30009 ti = "15/29577/30009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29577/30009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29577 ÷ 215
    29577 ÷ 32768     		x = 0.902618408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30009 ÷ 215
    30009 ÷ 32768     		y = 0.915802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.902618408203125 × 2 - 1) × π
    0.80523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.52972607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.83160400390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61256102929306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.52972607} λ = 2.52972607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61256102929306))-π/2
    2×atan(0.073346460588489)-π/2
    2×0.0732153561127045-π/2
    0.146430712225409-1.57079632675     		φ = -1.42436561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.52972607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.942627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42436561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.610138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29577 KachelY 30009 2.52972607 -1.42436561 144.942627 -81.610138
    Oben rechts KachelX + 1 29578 KachelY 30009 2.52991781 -1.42436561 144.953613 -81.610138
    Unten links KachelX 29577 KachelY + 1 30010 2.52972607 -1.42439359 144.942627 -81.611741
    Unten rechts KachelX + 1 29578 KachelY + 1 30010 2.52991781 -1.42439359 144.953613 -81.611741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42436561--1.42439359) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dl = 178.260580000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42436561--1.42439359) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dr = 178.260580000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.52972607-2.52991781) × cos(-1.42436561) × R
    0.000191739999999996 × 0.145907984061325 × 6371000     		do = 178.23762442002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.52972607-2.52991781) × cos(-1.42439359) × R
    0.000191739999999996 × 0.145880303441545 × 6371000     		du = 178.203810451965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42436561)-sin(-1.42439359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145907984061325-0.145880303441545)×R²
    abs(2.52991781-2.52972607)×2.76806197803126e-05×R²
    0.000191739999999996×2.76806197803126e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.76806197803126e-05×40589641000000     		ar = 31769.7284599926m²